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Ce texte s'appuie sur l'option maths expertes : division euclidienne, congruences, PGCD, algorithme d'Euclide, théorème de Bézout.
Un calendrier doit accorder des horloges qui ne s'accordent pas : la rotation de la Terre (le jour), le tour de la Lune (le mois) et le tour du Soleil (l'année). Une année ne contient pas un nombre entier de jours, et c'est toute la difficulté. Pour la résoudre, il faut approcher un nombre décimal par une fraction simple : « tant d'années bissextiles tous les tant d'ans ». Jules César, le pape Grégoire XIII, Omar Khayyam et les révolutionnaires de 1793 ont chacun choisi leur fraction.
Ce texte suit cette histoire en partant chaque fois d'un calcul fait à la main. Il montre que les meilleures fractions sont données par un outil des maths expertes, l'algorithme d'Euclide, sous la forme des fractions continues. Il rassemble des connaissances ; à chacun d'y choisir une direction et d'y construire sa question.
- Trois horloges qui ne s'accordent pas
- Le calendrier julien et sa dérive
- La réforme grégorienne de 1582
- Les fractions continues : les meilleures règles possibles
- Omar Khayyam et le calendrier jalali
- Le cycle de Méton et la date de Pâques
- Quel jour de la semaine ?
- Le calendrier républicain
- Des directions pour construire sa question
Le jour est l'unité de base. L'année tropique est la durée qui sépare deux passages du Soleil au même point des saisons, par exemple deux équinoxes de printemps ; elle vaut environ $365{,}2422$ jours, soit $365$ jours $5$ h $48$ min $45$ s. La lunaison, d'une nouvelle lune à la suivante, dure environ $29{,}5306$ jours.
Aucun de ces nombres n'est entier, et ils ne sont pas multiples les uns des autres. Douze lunaisons font $12 \times 29{,}5306 \approx 354{,}37$ jours, soit environ $11$ jours de moins qu'une année. Un calendrier purement lunaire, comme le calendrier musulman (années de $354$ ou $355$ jours), glisse donc d'environ $11$ jours par an par rapport aux saisons : c'est pourquoi le mois de ramadan tombe tantôt l'été, tantôt l'hiver, et fait le tour de l'année en environ $33$ ans ($365 / 11 \approx 33$).
Un calendrier solaire, au contraire, veut garder les saisons à leur place : l'équinoxe de printemps doit tomber chaque année autour du même jour. Avec des années de $365$ jours, on prend chaque année $0{,}2422$ jour de retard sur le Soleil. Tout le problème est de rattraper ce quart de jour, qui n'est pas tout à fait un quart.
En 46 av. J.-C., Jules César, conseillé par l'astronome Sosigène d'Alexandrie, réforme le calendrier romain, devenu très désordonné. Pour remettre les saisons en place, l'année 46 av. J.-C. compte $445$ jours : on l'a appelée « l'année de la confusion ». À partir de 45 av. J.-C., la règle est simple : trois années de $365$ jours, puis une année de $366$ jours. Après la mort de César, les prêtres l'appliquent mal (une année bissextile tous les trois ans) et Auguste doit corriger l'erreur ; les dates exactes de cette correction sont discutées.
L'année julienne moyenne dure $\dfrac{3 \times 365 + 366}{4} = 365{,}25$ jours. Elle est trop longue de
$$365{,}25 - 365{,}2422 = 0{,}0078 \text{ jour par an.}$$Au bout de $n$ ans, l'écart est de $0{,}0078\,n$ jour. Il atteint un jour entier quand $0{,}0078\,n = 1$, c'est-à-dire pour $n = \dfrac{1}{0{,}0078} \approx 128$ ans. Le calendrier julien avance donc d'un jour tous les $128$ ans sur le Soleil : l'équinoxe arrive de plus en plus tôt dans le calendrier.
En 325, au concile de Nicée, l'équinoxe de printemps tombait vers le 21 mars. En 1582, soit $1\,257$ ans plus tard, le décalage accumulé vaut environ
$$1\,257 \times 0{,}0078 \approx 9{,}8 \text{ jours}$$et l'équinoxe tombait vers le 11 mars. C'est ce décalage d'environ $10$ jours que la réforme de 1582 va supprimer d'un coup.
Le décalage gênait surtout l'Église : la date de Pâques dépend de l'équinoxe de printemps, fixée par convention au 21 mars. Le 24 février 1582, le pape Grégoire XIII publie la bulle Inter gravissimas, qui reprend le projet du médecin et astronome Aloysius Lilius, mis au point par une commission où siège Christophorus Clavius. Le savant français François Viète publiera d'ailleurs un calendrier concurrent, en opposition à celui de Clavius.
La réforme a deux volets.
- Rattraper le retard. On supprime dix jours : le jeudi 4 octobre 1582 est suivi du vendredi 15 octobre. La suite des jours de la semaine n'est pas interrompue.
- Corriger la règle. Une année est bissextile si son millésime est divisible par $4$, sauf les années séculaires (divisibles par $100$), qui ne le sont que si elles sont divisibles par $400$. Ainsi 1700, 1800 et 1900 n'ont pas été bissextiles, mais 2000 l'a été.
Étape 1 : compter les années bissextiles. Sur une période de $400$ années consécutives, il y a $100$ millésimes divisibles par $4$ ; parmi eux, $4$ sont divisibles par $100$, et parmi ces $4$, un seul est divisible par $400$. Le nombre d'années bissextiles est donc
$$100 - 4 + 1 = 97.$$Étape 2 : compter les jours. Ces $400$ années comptent
$$400 \times 365 + 97 = 146\,097 \text{ jours,}$$soit une année moyenne de $\dfrac{146\,097}{400} = 365{,}2425$ jours.
Étape 3 : la semaine. On effectue la division euclidienne de $146\,097$ par $7$ :
$$146\,097 = 7 \times 20\,871 + 0.$$Le reste est nul : $400$ ans grégoriens font exactement $20\,871$ semaines. Le 13 octobre 2426 tombera donc le même jour de la semaine que le 13 octobre 2026 : le calendrier grégorien se répète à l'identique tous les $400$ ans.
L'année grégorienne est encore trop longue, mais de très peu : $365{,}2425 - 365{,}2422 = 0{,}0003$ jour par an. Le retard d'un jour n'est atteint qu'au bout de $\dfrac{1}{0{,}0003} \approx 3\,300$ ans (environ $3\,200$ ans avec la valeur plus précise $365{,}24219$). À cette échelle, d'autres effets comptent autant : l'année tropique elle-même varie lentement, et la rotation de la Terre ralentit. Chercher une règle plus précise n'aurait guère de sens.
Les pays catholiques (Italie, Espagne, Portugal, Pologne) adoptent la réforme dès octobre 1582, la France en décembre : le 9 décembre 1582 y est suivi du 20 décembre. Les pays protestants et orthodoxes refusent longtemps une réforme venue du pape.
- La Grande-Bretagne et ses colonies d'Amérique attendent 1752 : il faut alors supprimer $11$ jours, car 1700 a été bissextile dans le calendrier julien et pas dans le grégorien. Le mercredi 2 septembre 1752 est suivi du jeudi 14 septembre.
- La Russie change en 1918 : le 31 janvier est suivi du 14 février ($13$ jours de retard, car 1800 et 1900 se sont ajoutées). La « révolution d'Octobre » a eu lieu le 25 octobre 1917 du calendrier julien, c'est-à-dire le 7 novembre du calendrier grégorien : elle est fêtée en novembre.
- La Grèce change en 1923. Les Églises orthodoxes calculent encore souvent la date de Pâques avec le calendrier julien, ce qui explique les deux dates de Pâques certaines années.
Chaque règle de calendrier revient à choisir une fraction $\dfrac{p}{q}$ : mettre $p$ années bissextiles tous les $q$ ans donne une année moyenne de $365 + \dfrac{p}{q}$ jours. César a choisi $\dfrac14$, Grégoire XIII $\dfrac{97}{400}$. Existe-t-il des fractions plus simples et aussi précises ? Pour le savoir, on approche $0{,}2422$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
On écrit $0{,}2422 = \dfrac{1\,211}{5\,000}$ et on effectue les divisions euclidiennes successives, comme pour calculer le PGCD de $5\,000$ et $1\,211$ :
5000 = 4 × 1211 + 156
1211 = 7 × 156 + 119
156 = 1 × 119 + 37
119 = 3 × 37 + 8
37 = 4 × 8 + 5
La première ligne s'écrit $\dfrac{5\,000}{1\,211} = 4 + \dfrac{156}{1\,211}$, donc $\dfrac{1\,211}{5\,000} = \dfrac{1}{4 + \frac{156}{1\,211}}$. La deuxième ligne donne de même $\dfrac{1\,211}{156} = 7 + \dfrac{119}{156}$, et ainsi de suite. On obtient l'écriture en fraction continue :
$$0{,}2422 = \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3 + \cdots}}}}$$Les quotients successifs $4$, $7$, $1$, $3$, $4$… sont ceux de l'algorithme d'Euclide. En s'arrêtant de plus en plus loin, on obtient les réduites :
$$\frac{1}{4}, \qquad \frac{1}{4 + \frac{1}{7}} = \frac{7}{29},$$ $$\frac{1}{4 + \frac{1}{7 + 1}} = \frac{8}{33}, \qquad \frac{31}{128}.$$On compare chaque fraction à la valeur plus précise $0{,}24219$ :
| Fraction | Règle | Année moyenne | Un jour d'écart en |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{4}$ | 1 sur 4 ans (César) | $365{,}25$ | 128 ans |
| $\frac{7}{29}$ | 7 sur 29 ans | $365{,}2414$ | 1 200 ans |
| $\frac{8}{33}$ | 8 sur 33 ans | $365{,}2424$ | 4 300 ans |
| $\frac{97}{400}$ | 97 sur 400 ans (Grégoire XIII) | $365{,}2425$ | 3 200 ans |
| $\frac{31}{128}$ | 31 sur 128 ans | $365{,}2422$ | au-delà de toute précision utile |
La réduite $\dfrac{8}{33}$ est à la fois plus simple et plus précise que la règle grégorienne : huit années bissextiles tous les $33$ ans. La règle de Grégoire XIII a d'autres qualités : elle ne modifie que les années séculaires et se retient facilement. La règle « $31$ sur $128$ ans », c'est-à-dire supprimer une année bissextile tous les $128$ ans dans le calendrier julien, a parfois été proposée ; sa précision dépasse celle avec laquelle on connaît l'évolution de l'année tropique sur des milliers d'années.
Si on note $a_1 = 4$, $a_2 = 7$, $a_3 = 1$, $a_4 = 3$… les quotients, les numérateurs $p_k$ et dénominateurs $q_k$ des réduites se calculent par récurrence :
$$p_k = a_k\,p_{k-1} + p_{k-2},$$ $$q_k = a_k\,q_{k-1} + q_{k-2},$$avec $p_{-1} = 1$, $q_{-1} = 0$, $p_0 = 0$, $q_0 = 1$. On le vérifie sur nos valeurs : $p_2 = 7 \times 1 + 0 = 7$ et $q_2 = 7 \times 4 + 1 = 29$ ; $p_4 = 3 \times 8 + 7 = 31$ et $q_4 = 3 \times 33 + 29 = 128$.
On note $d_k = p_k\,q_{k-1} - p_{k-1}\,q_k$ et on raisonne par récurrence.
Initialisation. $d_0 = p_0\,q_{-1} - p_{-1}\,q_0$ $= 0 \times 0 - 1 \times 1 = -1$ $= (-1)^{1}$.
Hérédité. Supposons $d_{k-1} = (-1)^{k}$. En remplaçant $p_k$ et $q_k$ par leurs expressions :
$$\begin{aligned} d_k &= (a_k p_{k-1} + p_{k-2})\,q_{k-1} \\ &\quad - p_{k-1}\,(a_k q_{k-1} + q_{k-2}) \\ &= p_{k-2}\,q_{k-1} - p_{k-1}\,q_{k-2} \\ &= -d_{k-1} = (-1)^{k+1}. \end{aligned}$$Les termes $a_k\,p_{k-1}\,q_{k-1}$ se sont simplifiés. La propriété est démontrée pour tout $k \geqslant 0$.
Vérification sur nos réduites : $7 \times 4 - 1 \times 29 = -1$, $8 \times 29 - 7 \times 33 = 1$, $31 \times 33 - 8 \times 128 = -1$. Deux conséquences :
- Chaque réduite est irréductible. L'égalité $p_k\,q_{k-1} - p_{k-1}\,q_k = \pm 1$ est une relation de Bézout : tout diviseur commun de $p_k$ et $q_k$ divise $1$, donc $\mathrm{PGCD}(p_k\,;q_k) = 1$.
- Deux réduites successives sont très proches. En divisant par $q_k\,q_{k-1}$ :
Par exemple $\dfrac{8}{33} - \dfrac{7}{29} = \dfrac{1}{957}$. Les réduites tombent alternativement au-dessus et au-dessous du nombre cherché, et on démontre (on l'admet ici) que chacune vérifie $\left|x - \dfrac{p_k}{q_k}\right| < \dfrac{1}{q_k^2}$ : aucune fraction de dénominateur plus petit n'approche mieux. C'est le sens précis de « meilleure règle possible ».
La figure trace l'écart, en jours, entre le calendrier et le Soleil au fil des années, pour une règle « $p$ années bissextiles tous les $q$ ans ». Une règle est bonne si la droite reste longtemps dans la bande grisée (moins d'un jour d'écart).
Le programme applique l'algorithme d'Euclide à $\dfrac{1\,211}{5\,000}$, calcule les réduites par la récurrence ci-dessus et vérifie la relation $p_k\,q_{k-1} - p_{k-1}\,q_k = \pm 1$.
Omar Khayyam (1048-1131), né à Nichapour en Perse, est d'abord un savant : astronome, mathématicien et philosophe. Son Traité d'algèbre classe les équations du troisième degré et en donne des solutions géométriques, par l'intersection de deux coniques (par exemple un cercle et une parabole). Il est aussi l'auteur présumé de quatrains, les Rubaïyat, devenus célèbres en Europe au XIXe siècle.
Vers 1074, le sultan seldjoukide Malik-Shah l'appelle à Ispahan pour diriger un observatoire et réformer le calendrier. Le calendrier jalali, adopté en 1079, fait commencer l'année à l'équinoxe de printemps (le Nowruz, nouvel an persan). La tradition lui attribue un cycle de $33$ ans comptant $8$ années bissextiles, soit exactement la réduite $\dfrac{8}{33}$ ; les historiens discutent cette attribution, car le calendrier se réglait aussi sur l'observation de l'équinoxe. Le calendrier officiel de l'Iran actuel en descend directement.
Avec $\dfrac{8}{33}$, l'année moyenne vaut $365 + \dfrac{8}{33} \approx 365{,}24242$ jours, plus proche de l'année tropique que l'année grégorienne de $365{,}2425$ jours, cinq siècles avant Grégoire XIII.
Pâques est fêtée le dimanche qui suit la première pleine lune de printemps, c'est-à-dire la première pleine lune qui tombe le 21 mars ou après (dans la version ecclésiastique de la règle, avec une lune et un équinoxe calculés, et non observés). La date dépend donc à la fois du Soleil, de la Lune et de la semaine.
Vers 432 av. J.-C., l'astronome athénien Méton remarque que $19$ années durent presque exactement $235$ lunaisons. Vérifions-le :
$$19 \times 365{,}2422 \approx 6\,939{,}60 \text{ jours,}$$ $$235 \times 29{,}5306 \approx 6\,939{,}69 \text{ jours.}$$L'écart n'est que d'environ $0{,}09$ jour, soit deux heures en dix-neuf ans. Au bout de $19$ ans, les phases de la Lune reviennent donc presque aux mêmes dates. Le rang d'une année dans ce cycle est le reste de la division euclidienne du millésime par $19$ : les calculateurs du Moyen Âge l'appelaient le nombre d'or (sans rapport avec le nombre d'or des géomètres). Pour 2026, $2\,026 = 19 \times 106 + 12$ ; comme on numérote les années du cycle de $1$ à $19$, le nombre d'or de 2026 est $12 + 1 = 13$.
Gauss a donné en 1800 une méthode de calcul de la date de Pâques par une suite de restes de divisions euclidiennes. Le
programme suivant utilise une variante publiée par l'astronome Jean Meeus, valable pour tout le calendrier grégorien. Chaque ligne est
une division euclidienne : a = annee % 19 est la place dans le cycle de Méton, les variables suivantes corrigent les
années séculaires (règle grégorienne) et la dérive du cycle lunaire, puis l cherche le dimanche.
Le programme donne le 31 mars 2024, le 20 avril 2025, le 5 avril 2026, le 28 mars 2027. Pâques tombe toujours entre le 22 mars (comme en 1818, et la prochaine fois en 2285) et le 25 avril (comme en 1943 et en 2038). Entre 1900 et 2100, la date la plus précoce est le 23 mars, atteinte en 1913 et en 2008, comme le montre le programme.
La semaine de sept jours ne s'accorde ni avec le mois ni avec l'année : c'est un problème de congruences modulo $7$.
La division euclidienne de $365$ par $7$ donne $365 = 7 \times 52 + 1$, donc $365 \equiv 1 \pmod 7$ et $366 \equiv 2 \pmod 7$. Une même date avance donc d'un jour de la semaine d'une année sur l'autre, et de deux jours si un 29 février se trouve entre les deux.
Exemple. Le 13 octobre 2026 est un mardi. Le 13 octobre 2027 est un mercredi (pas de 29 février entre les deux), et le 13 octobre 2028 un vendredi (le 29 février 2028 ajoute un jour).
En 1882, le pasteur allemand Christian Zeller a rassemblé ces décalages en une seule formule. On numérote les mois en commençant en mars : mars est le mois $m = 3$, décembre le mois $12$, et janvier et février deviennent les mois $13$ et $14$ de l'année précédente. Avec $q$ le jour du mois, $K$ les deux derniers chiffres de l'année et $J$ le nombre de siècles ($J = 17$ pour 1789), le jour de la semaine est le reste $h$ de
$$\begin{aligned} h \equiv{} & q + \left\lfloor \tfrac{13(m+1)}{5} \right\rfloor + K + \left\lfloor \tfrac{K}{4} \right\rfloor \\ & + \left\lfloor \tfrac{J}{4} \right\rfloor + 5J \pmod 7, \end{aligned}$$où $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière, et où $h = 0$ correspond à samedi, $h = 1$ à dimanche, $h = 2$ à lundi, et ainsi de suite.
Exemple à la main : le 14 juillet 1789. On a $q = 14$, $m = 7$, $K = 89$, $J = 17$. Les termes valent $\lfloor 104/5 \rfloor = 20$, $\lfloor 89/4 \rfloor = 22$, $\lfloor 17/4 \rfloor = 4$ et $5 \times 17 = 85$. La somme est
$$\begin{aligned} & 14 + 20 + 89 + 22 + 4 + 85 \\ &= 234 = 7 \times 33 + 3, \end{aligned}$$donc $h = 3$ : la Bastille a été prise un mardi.
Les années du siècle. Chaque année ajoute un jour ($365 \equiv 1$), d'où le terme $K$ ; chaque année bissextile du siècle en ajoute un autre, et il y en a $\lfloor K/4 \rfloor$.
Les siècles. Un siècle dont la dernière année n'est pas bissextile compte $100$ ans dont $24$ bissextiles, soit un décalage de $100 + 24 = 124$ jours, et $124 = 7 \times 17 + 5$, donc $124 \equiv 5 \pmod 7$ : c'est le terme $5J$. Une année séculaire sur quatre est tout de même bissextile : c'est le terme $\lfloor J/4 \rfloor$.
Les mois. Le terme $\lfloor 13(m+1)/5 \rfloor$ vaut $10$, $13$, $15$, $18$, $20$, $23$, $26$, $28$, $31$, $33$, $36$, $39$ pour $m = 3, 4, \ldots, 14$. Ses accroissements successifs sont $3$, $2$, $3$, $2$, $3$, $3$, $2$, $3$, $2$, $3$, $3$. Or les mois de mars à janvier ont $31$, $30$, $31$, $30$, $31$, $31$, $30$, $31$, $30$, $31$, $31$ jours, et $31 \equiv 3$, $30 \equiv 2 \pmod 7$ : le terme ajoute exactement le décalage dû à chaque mois écoulé. En plaçant février à la fin de l'année, son éventuel 29e jour n'intervient qu'au changement d'année, déjà compté par le terme $\lfloor K/4 \rfloor$.
Il reste à vérifier la constante d'ajustement sur une date connue, ce que fait l'exemple du 14 juillet 1789.
Cet outil applique la formule de Zeller et affiche les étapes du calcul. Il est valable dans le calendrier grégorien, donc pour les dates postérieures à 1582 (et, en Russie par exemple, seulement après 1918).
Comme le calendrier se répète tous les $400$ ans, il suffit de compter les $400 \times 12 = 4\,800$ treizièmes jours d'un cycle. On s'attendrait à environ $4\,800 / 7 \approx 685{,}7$ par jour de la semaine. Le calcul montre que le 13 tombe un vendredi $688$ fois, un peu plus souvent qu'aucun autre jour : les sept jours ne sont pas équiprobables, parce que $400$ ans ne contiennent pas un nombre de mois multiple de $7$ et que la règle des bissextiles n'est pas régulière.
En 1793, la Convention veut rompre avec le calendrier chrétien et rendre le temps « rationnel », comme le système métrique rend les mesures décimales. Le calendrier républicain, préparé notamment par le mathématicien Gilbert Romme avec l'aide d'astronomes comme Lalande, fait commencer l'an I le 22 septembre 1792, jour de la proclamation de la République et de l'équinoxe d'automne.
- L'année compte $12$ mois de $30$ jours, soit $360$ jours, complétés par $5$ jours complémentaires, et $6$ les années « sextiles ».
- Chaque mois est divisé en trois décades de dix jours ; le dixième jour, le décadi, est chômé à la place du dimanche.
- Les mois portent des noms liés aux saisons, choisis par le poète Fabre d'Églantine : vendémiaire (vendanges), brumaire, frimaire, nivôse (neige), pluviôse, ventôse, germinal, floréal, prairial, messidor, thermidor, fructidor.
Le point faible était justement la règle des années sextiles : elle devait suivre l'équinoxe d'automne observé, ce qui rendait le calendrier difficile à prévoir, et une règle arithmétique proche de la règle grégorienne, proposée par Romme, n'a jamais été adoptée. La semaine de dix jours fut aussi mal acceptée. Napoléon rétablit le calendrier grégorien au 1er janvier 1806. Les noms sont restés dans l'histoire : le « 9 thermidor » (chute de Robespierre), le « 18 brumaire » (coup d'État de Bonaparte), ou le roman Germinal.
Ce texte n'est pas un Grand Oral. Il rassemble des connaissances dans lesquelles chacun peut choisir une direction, la creuser et formuler sa propre question. Quelques directions possibles :
- Mathématiques : l'algorithme d'Euclide et les fractions continues ; les réduites et la relation de Bézout ; la meilleure approximation d'un nombre par une fraction ; les congruences modulo $7$ et le jour de la semaine ; le calcul de la date de Pâques.
- HGGSP : maîtriser le temps, c'est exercer un pouvoir : César, la papauté et les pays protestants, la Russie de 1918, la Révolution française et le calendrier républicain ; calendriers religieux et calendriers civils.
- Physique-chimie : les mouvements de la Terre et de la Lune, l'année tropique et l'année sidérale, l'équinoxe, le ralentissement de la rotation terrestre.
Le jury peut interroger sur les chapitres mobilisés. Avec ce thème, il est utile de connaître parfaitement, en maths expertes : la division euclidienne et les congruences, le PGCD et l'algorithme d'Euclide, le théorème de Bézout et sa réciproque. Côté spécialité, le raisonnement par récurrence, les suites définies par récurrence et l'algorithmique en Python sont souvent sollicités.
Pour réviser les chapitres de spécialité, l'application Maths FlashBac reprend tout le cours en cartes.
- Calendrier grégorien, fraction continue, cycle métonique et calendrier républicain (Wikipédia).
- Sur ce site : La mesure du temps (cadrans, équation du temps, horloges et GPS), Construire un cadran solaire et La cryptographie (une autre application des congruences).