2Variables aléatoiresIntroduction
Dans la roue ci-dessous, tous les secteurs ont exactement la même forme. Nous sommes donc en présence d'une situation d'équiprobabilité.
Lancers
0
Gain total
0 €
Gain moyen
0 €
Fréquences des gains
Gain
-10 €
-2 €
+20 €
Fréquence
0
0
0
En lançant un grand nombre de fois la roue, de quelles valeurs semblent se rapprocher les fréquences du dernier tableau ?
Les fréquences semblent se rapprocher des probabilités associées à chaque gain.
En effet la probabilité de gagner $20$ € est : $\dfrac{1}{5}$$=$$0,2$.
Celle de perdre $2$ € : $\dfrac{3}{5}$$=$$0,6$.
Celle de perdre $10$ € : $\dfrac{1}{5}$$=$$0,2$.
Dans cette situation on peut dire que le gain est une variablealéatoirefinie : aléatoire car on ne sait pas quelle valeur il prendra avant l'expérience, et finie car il ne peut prendre que trois valeurs distinctes.
Variables aléatoires
Soit $\Omega$ un univers associé à une expérience aléatoire.
Une variablealéatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
$X$ est discrète et finie si elle prend un nombre fini de valeurs $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$.
Dans l'exemple de l'introduction on peut définir une variablealéatoire $G$ représentant le gain d'un joueur après une partie.
La loideprobabilité d'une variable aléatoire discrète finie $X$ est la fonction qui à chaque valeur $x_i$ prise par $X$ associe le nombre $p_i$$=$$P(X=x_i)$.
On peut résumer cela dans un tableau :
$X$
$x_1$
$x_2$
$\dots$
$x_n$
$P(X=x_i)$
$p_1$
$p_2$
$\dots$
$p_n$
La loi de probabilité de la variable aléatoire $G$ associé au gain dans l'expérience de la roue précédente est :
$G$
$-10$
$-2$
$20$
$P(X=x_i)$
$\dfrac{1}{5}$
$\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{1}{5}$
Soit $X$ une variable aléatoire prenant $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$.
L'espérance de $X$, notée $\text{E}(X)$, est la moyenne arithmétique des valeurs $x_i$ pondérées par leur probabilité$p_i$$=$$P(X=x_i)$. On a :
$\text{E}(X)$$=$$x_1\times p_1$$+$$x_2\times p_2$$+$$\cdots$$+$$x_n\times p_n$.
On peut noter de manière raccourcie : $\text{E}(X)$ $=$ $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_ip_i}$.
Toujours dans l'expérience de la roue précédente, on trouve, en lisant le tableau représentant la loi de probabilité de $G$ :
$\text{E}(G)$ $=$ $\dfrac{1}{5}\times(-10)+\dfrac{3}{5}\times(-2)+\dfrac{1}{5}\times 20$$=$$0,80$.
On remarque que ce résultat est proche du gain moyen du simulateur et ça confirme qu'il est intéressant de jouer à ce jeu ar en moyenne, par partie, on gagne $0,80$ €.
Voici un algorithme Python permettant de déterminer l'espérance d'une variable aléatoire discrète finie.
def esp(X,P):
n = len(X)
e = 0
for i in range(0,n):
e = e +X[i]*P[i]
return e
X = [-10,-2,20]
P = [1/5, 3/5, 1/5]
print(esp(X,P))
L'évènement $\{ X \leq a \}$ est la réunion de tous les évènements élémentaires $\{ X=x_i \}$ avec $x_i\leq a$.
Dans l'exemple de la roue $\{ X \leq 0 \}$ $=$ $\{ X=-10 \}$$\cup$$\{ X=-2 \}$.
On définit de manière analogue les évènements $\{ X < a \}$,$\{ X \geq a \}$et$\{ X > a \}$.
Lorsqu'on lance $100$ fois la pièce de monnaie truquée précédente et que l'on s'intéresse au nombre de piles obtenu, on est en présence d'un schéma de Bernoulli de paramètres $100$et$0,8$.
L'algorithme Python ci-dessous permet de compter le nombre de piles que l'on obtient lorsqu'on lance $100$ fois cette pièce truquée.
from random import*
nb_piles = 0
for i in range(0,100):
m = random()
if m < 0.8:
nb_piles = nb_piles +1
print(nb_piles)
On remarque que les résultats semblent fluctuer autour de $80$.
Le graphique ci-dessous est une simulation de $1_,000$ de répétitions de l'algorithme précédent. En abscisse on a le nombre de piles obtenus sur $100$ lancers de pièces et en ordonnées on note combien de fois on a obtenu ce résultat sur les $1\,000$ répétitions de l'expérience.
On remarque que les résultats les plus fréquents sont situés autour de $80$.