On appelle vecteur directeur d'une droite $d$ tout vecteur non nul$\vec{u}$ qui possède la même direction que la droite $d$.
Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l'ensemble des points $M(x;y)$ d'une droite vérifient une relation $ax+by+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
Cette équation s'appelle équation cartésienne de la droite $d$.
Soit $d$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.
Le vecteur $(-b\,;\,a)$ est un vecteur directeur de $d$.
Soit $d$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$, avec $b\neq0$.
Il existe un unique nombre $m$ et un unique nombre $p$ tels que $y=mx+p$.
Cette équation s'appelle équation réduite de $d$.
Le nombre $m$ s'appelle coefficient directeur de $d$ et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Soient $d$ et $d'$ deux droites d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'x+c'=0$.
Les droites $d$ et $d'$ sont paralléles si et seulement si $ab'-a'b=0$.
Soient $d$ et $d'$ deux droites sécantes d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$. Les coordonnées $(x;y)$ du point d'intersection de $d$ et $d'$ sont solutions du système d'équations :
$$\left\{\begin{array}{rcl}
ax+by+c & = & 0 \\
a'x+b'y+c' & = & 0
\end{array}\right.$$
Soient $d$ et $d'$ deux droites parallèles d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $ax+by+c'=0$.
Les droites $d$ et $d'$ sont strictement parallèles si et seulement si $c$ $\neq$ $c'$.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Equation cartésienne d'une droite
Soit $D$ une droite de vecteur directeur $\vec u$.
On appelle vecteur normal à $D$ tout vecteur orthogonal à $\vec u$.
Soit $D$ une droite de vecteur normal $\vec n=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$.
Alors une équation cartésienne de $D$ est de la forme $ax+by+c=0$ où $c\in\mathbb{R}$.
Réciproquement, droite d’équation $ax+by+c=0$ admet le vecteur $\vec n=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ comme vecteur normal.
Démonstration
Un vecteur directeur de la droite $ax+by+c=0$ est
$$\vec u=\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix}.$$
On calcule le produit scalaire avec $\vec n=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ :
$$\vec u\cdot\vec n=(-b)\,a+a\,b=0.$$
Ainsi $\vec u$ et $ \vec n$ sont orthogonaux et $\vec n$ est bien un vecteur normal à $D$. La réciproque est immédiate.
Considérons la droite d’équation $y=-\dfrac{2}{3}x-1$.
On la réécrit : $2x+3y+3=0$.
Un vecteur directeur de cette droite est
$$\vec u=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\quad\text{ou, en entier,}\quad
\vec u=\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}.$$
Un vecteur normal est donné par les coefficients $(a,b)$ de l’équation cartésienne :
$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}\quad\text{(ou l’opposé }\begin{pmatrix}-2\\ -3\end{pmatrix}\text{).}$$
Vérification :
$$\vec u\cdot\vec n=\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}
=3\times 2+(-2)\times 3=6-6=0,$$
donc $\vec n$ est bien normal à la droite.
Equation de cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(a; b)$ et de rayon $R$ a pour équation :
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2.$$
Le point $M(x; y)$ appartient au cercle de centre $\Omega(a; b)$ et de rayon $R$ si et seulement si $\Omega M = R$,
ou encore si et seulement si $\Omega M^2 = R^2$. Or, $\Omega M^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2$. D'où le résultat.
Déterminer l'équation du cercle de centre $\Omega(2; -1)$ et de rayon $4$.
L'équation du cercle de centre $\Omega(2; -1)$ et de rayon $4$ est
$$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16$$
ou, sous forme développée :
$$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0.$$
Déterminer la nature de l’ensemble $E$ des points $M(x;y)$ vérifiant l’équation
$$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 3 = 0.$$
On considère l’ensemble $E$ d’équation :
$$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 3 = 0.$$
Pour vérifier qu’il s’agit d’un cercle, on écrit $x^2 - 6x$ et $y^2 + 2y$ comme des débuts de carrés, en les mettant sous forme canonique.
On a :
$$x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$$
et
$$y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1.$$
Il en résulte que l’équation de $E$ peut s’écrire :
$$(x-3)^2 - 9 + (y+1)^2 - 1 - 3 = 0,$$
soit
$$(x-3)^2 + (y+1)^2 = 13.$$
Ainsi, $E$ est le cercle de centre $\Omega(3; -1)$ et de rayon $\sqrt{13}$.