2 Fonction exponentielleDéfinition de la fonction exponentielle
On cherche les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que :
$
\left\{
\begin{array}{rcl}
f(0) & = & 1 \\
f' & = & f \\
\end{array}
\right.
$
C'est-à-dire, que l'on cherche les fonctions $f$ définies et dérivables sur $\mathbb{R}$, telles que pour tout réel $x$, $f(x)=f'(x)$ :
les fonctions qui sont donc identiques à leur dérivée etqui valent 1en 0.Théorème et définition1Théorème
Il existeune unique fonction $f$ définie et dérivablesur $\mathbb{R}$ telle que$f(0) = 1$et$f' = f$.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée $\exp$.
L'animation illustre la méthode d'Euler, un algorithme numérique qui permet ici de tracer de façon approchée la courbe représentative de la fonction exponentielle.
Cet algorithme fonctionne par une construction pas à pas. Voici les étapes de son fonctionnement :
1. Le point de départ
L'algorithme commence par un point connu, appelé condition initiale. Dans le code, ce point est $A = (0,1)$, puisque $f(0) = 1$. L'animation commence donc à l'origine du repère.
2. Calcul et tracé de la tangente
À partir de ce point $A$, l'algorithme utilise l'équation $y' = y$ pour calculer la pente de la tangente à la courbe de solution. La pente de la tangente en un point d'ordonnée $y$ est simplement la valeur de $y$. L'algorithme trace ensuite un court segment de droite le long de cette tangente, en se déplaçant sur une petite distance horizontale appelée le "pas".
3. Le nouveau point
À la fin de ce court segment, un nouveau point est créé. Ce point est une approximation de la solution de l'équation différentielle pour la valeur de $x$ correspondante. L'algorithme ajoute ce point à la liste des points qu'il doit afficher. 4. L'itération
L'algorithme répète les étapes 2 et 3, en utilisant le nouveau point comme point de départ. Il construit ainsi une série de segments de droite qui forment une courbe brisée, laquelle se rapproche de la solution exacte $f(x) = e^x$.
p = 0.0001
B = [0, 1]
for i in range(int(1/p)):
B[1] = B[1]*(1+p)
B[0] = B[0]+p
print(B[1])
Dans cet algorithme Python on utilise la méthode d'Euler avec un pas très petit ($p = 0.0001$) on montre l'efficacité de cette méthode : plus le pas est petit, plus l'approximation est précise. La valeur finale affichée est une approximation de $exp(1)$.
Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\exp'(x) = \exp(x)$.
$\exp(0)$$=$$1$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$,$\exp(-x)$$=$$\dfrac{1}{\exp(x)}$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$,$\exp(x) >0$.
Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x+y)$$=$$\exp(x)\exp(y)$.
Pour tous réels $x$ et $y$,$\exp(x-y)$$=$$\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$,$n\in\mathbb{Z}$,$\exp(nx)$$=$$(\exp(x))^n$.
Preuve
Les points 1 et 2 viennent directement de la définition de la fonction exponentielle.
Les autres points sont admis ici.
$\bullet$ $\exp(-2)$ $=$ $\dfrac{1}{\exp(2)}$.
$\bullet$ Pour $a\in\mathbb{R}$, $\exp(a+2) =$ $\exp(a)\exp(2)$.
$\bullet$ Pour $b\in\mathbb{R}^+$, $\exp(\sqrt{b}-2) =$ $\dfrac{\exp(\sqrt{b})}{\exp(2)}$.
$\bullet$ Pour $y\in\mathbb{R}$, $\exp(4y) =$ $\exp(y)^4$.
Le nombre $\text{e}$ et la notation puissance
On note $\text{e}$ le nombre $\exp(1)$. $\text{e} = \exp(1).$
À l'aide de la méthode d'Euler, on a obtenu une valeur approchée de $\text{e}$.
$\text{e} \simeq 2,718.$
Pour tout entier naturel $n$ :
On peut généraliser cette notation à tout nombre réel.
Pour tout nombre réel $x$, on note :
$\exp(x) = \text{e}^x.$
Pour tous réels $a$ et $b$, et tout entier relatif $n$ on a :
$\text{e}^a \times \text{e}^b=\text{e}^{a+b}$
$\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b} = \text{e}^{a-b}$
$\dfrac{1}{\text{e}^a} = \text{e}^{-a}$
$\left(\text{e}^a\right)^n = \text{e}^{na}$
$ (\text{e}^{na}$) est une suite géométrique de raison $e^{a}$.
Étude de la fonction exponentielleSens de variation
La fonction exponentielle est strictement croissantesur $\mathbb{R}$.
Preuve
D'après les propriétés précédentes, nous avons que pour tout réel $x$ : $\exp'(x)$$=$$\exp(x)$$>0$.
La fonction exponentielle est bien strictement croissantesur $\mathbb{R}$.
Propriétés
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé.
Justifier les affirmations suivantes:
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en $x=0$, est $y=x+1$.
La courbe $\mathcal{C}$ est au dessusde sa tangente en $x=0$.
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en $x=1$, est $y=\text{e} x$.
Preuve de l'affirmation 1
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$, au point d'abscisse $0$ est donnée par :
$y= \exp'(0)(x-0) + \exp(0)$$\Longleftrightarrow$$y = \exp(0)x+\exp(0) $$\Longleftrightarrow$$y = x+1.$$_\square$
Preuve de l'affirmation 2
Pour déterminer la position relative entre ses deux courbes, étudions pour tout réel $x$, le signe de :
$\delta(x)$$=$$\text{e}^x - (x+1)$.
Pour cela, calculons $\delta'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
$\delta'(x)$$=$$\text{ e}^x - 1$.
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et vaut $1$pour $x=0$.
Donc $\delta'$ est négativesur $]-\infty;0]$,et positivesur $[0;+\infty[$.
La fonction $\delta$ présente donc un minimum pour $x=0$, qui vaut $\delta(0) = 1$.
Ainsi, pour tout réel $x$, $\delta(x) >0$, et donc la courbe de la fonction exponentielle est bien toujours au dessus de sa tangente en $0$.
Preuve de l'affirmation 3
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$, au point d'abscisse $1$ est donnée par :
$y= \exp'(1)(x-1) + \exp(1)$$=$$\text{e}(x-1)+\text{e}$$=$$\text{e} x.$$ _\square$
À l'aide des propriétés précédentes (tangentes) et de la méthode d'Euler on obtient le graphique suivant :
Résolution d'équations et d'inéquations
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$\text{e}^a = \text{e}^b$
$\Longleftrightarrow$
$a = b.$
$\text{e}^a > \text{e}^b$
$\Longleftrightarrow$
$a > b.$
Preuve
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.Fonctions de la forme $e^{kx}$, $k\in\mathbb{R^*}$Soit $k\in\mathbb{R^*}$
La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto e^{kx}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. De plus,
$\forall x\in \mathbb{R}$, $(e^{kx})'=ke^{kx}$.
Calculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
$f(x) = e^{5x}$
$g(x) = e^{-x/3}$
$h(x) = 4e^{2x}$
$i(x) = x^2 + e^{-4x}$
$f(x) = e^{5x}$ :
La fonction est de la forme $e^{kx}$ avec $k=5$.
$f'(x) = 5e^{5x}$
$g(x) = e^{-x/3}$ :
La fonction est de la forme $e^{kx}$ avec $k = -\frac{1}{3}$.
$g'(x) = -\frac{1}{3}e^{-x/3}$
$h(x) = 4e^{2x}$ :
On utilise la règle de la dérivée d'une constante multipliée par une fonction : $(k u)' = k u'$.
$h'(x) = 4 \times (e^{2x})'$
$h'(x) = 4 \times (2e^{2x})$
$h'(x) = 8e^{2x}$
$i(x) = x^2 + e^{-4x}$ :
On utilise la règle de la dérivée d'une somme : $(u+v)' = u'+v'$.
$i'(x) = (x^2)' + (e^{-4x})'$
$i'(x) = 2x - 4e^{-4x}$
Soit $k\in\mathbb{R^*}$
Si $k>0$ alors $x\mapsto e^{kx}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Si $k < 0 $ alors $x\mapsto e^{kx}$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
Preuve
$(e^{kx})'=ke^{kx}$. Or, $\forall x\in \mathbb{R}$, $e^{kx}>0$. Donc le signe de la dérivée ne dépend que du signe de $k$.
Illustration graphique
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez son sens de variation sur $\mathbb{R}$ en justifiant votre réponse :
$f(x) = e^{2x}$
$g(x) = e^{-3x}$
$f(x) = e^{2x}$ :
La fonction est de la forme $e^{kx}$ avec $k = 2$. Comme $k = 2 > 0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
$g(x) = e^{-3x}$ :
La fonction est de la forme $e^{kx}$ avec $k = -3$. Comme $k = -3 < 0$, la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.