2 Suites numériques (2)
Suites géométriques
Une suite numérique $(u_n)$ est géométrique s'il existe une constante $q$, appelée raison, telle que :
$\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }u_{n+1}=qu_n,$ $\,u_0$ étant donné.
Lilia décide de placer 5000€ sur le placement Banco qui garantit une performance de 8% par an.
Quel est le capital obtenu par Lilia au bout d'un an ?
On note $C_n$ le capital obtenu par Lilia au bout de n années. Justifier que $(C_n)$est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
Déterminer $C_2$, puis $C_3$
Combien d'années Lilia doit-elle conserver son placement Banco pour obtenir 10000€ ?
1. Après un an, le capital a augmenté de 8 %. Or, le taux d'évolution associé à une hausse de 8* est 1,08. Donc,
$C_1 = 5000 \times 1,08 = 5400$€.
2. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}08$.
Donc la suite $(C_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1{,}08$ et de premier terme $C_0 = 5000$.
3.
$C_2 = C_1 \times 1{,}08 = 5400 \times 1{,}08 = 5832$€
$C_3 = C_2 \times 1{,}08 = 5832 \times 1{,}08 = 6298{,}56$€.
4. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $C_n \geq 10\,000$.
On utilise l'algorithme en Python suivant :
def seuil(C):
capital = 5000
n = 0
while capital < C:
capital = capital * 1.08
n += 1
return n
print(seuil(10000)) # affiche : 10
👉 Lilia devra conserver son placement pendant 10 ans pour que son capital dépasse 10 000 €.
Soit $(u_n)$ une suite numérique géométrique de raison $q$. Alors:
Pour tout entier $n$, $u_n= u_0q^n$.
pour tout entiers $n$ et $m$, $u_n= u_mq^{n-m}$,
Preuve
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$, cela signifie que pour tout entier $n$ :
$\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }u_{n+1}=qu_n,$
On obtient chaque terme en multipliant $q$ le terme précédent. Donc, par itération, on obtient $u_n$ enmultipliant $n$ fois $u_0$ par la raison $q$.
Donc, $u_n= u_0q^n$.
De même que précédemment, par itération, on obtient $u_n$ enmultipliant $n-m$ fois $u_m$ par la raison $q$.
On pose, $\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }u_{n}=\dfrac{2048}{2^n}$
Calculer les trois premiers de $(u_{n})$.
Justifier que $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
Déterminer le plus petit rang $n$ tel que $u_n \lt 1$.
1. Calcul des trois premiers termes :
$$
u_0 = \dfrac{2048}{2^0} = 2048,\quad
u_1 = \dfrac{2048}{2^1} = 1024,\quad
u_2 = \dfrac{2048}{2^2} = 512.
$$
2. On a, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$u_{n+1} = \dfrac{2048}{2^{n+1}} = \dfrac{2048}{2^n \times 2} = \dfrac{1}{2} \times u_n.$$
Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 2048$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$.
3. On cherche le plus petit $n$ tel que $u_n < \dfrac{1}{2}$ :
On utilise un **algorithme Python** :
def seuil(m):
u = 2048
n = 0
while u >= m: # m correspond au seuil et on calculera donc seuil(0.5)
u = u / 2
n = n + 1
return n
print(seuil(0.5)) # affiche : 13
Le plus petit entier $n$ tel que $u_n \lt 1$ est $n = 13$.
Soit $(u_n)$ une suite numérique géométrique de raison $q$. Alors:
pour tout entier $n$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k}$ $=$ $u_0+u_1+\cdots+u_n$ $=$ $u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
On peut retenir que pour calculer la somme de termes en progression géométrique, on applique :
$$\dfrac{\text{"Le premier qui y est"} - \text{"Le premier qui n’y est pas"}}{1 - \text{"la raison"}}$$Démonstration.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$.
On considère la somme :
$$
S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n
$$
Multipliée par $(1 - q)$, on obtient :
$S(1 - q) = (u_0 + u_1 + \cdots + u_n)$ $- (qu_0 + qu_1 + \cdots + qu_n)$.
Or, $qu_0 = u_1$, $qu_1 = u_2$, ..., $qu_{n-1} = u_n$, et $qu_n = u_{n+1}$.
On constate que tous les termes se simplifient deux à deux, sauf le premier de $S$ et le dernier de $qS$ :
$S(1 - q) = u_0 - u_{n+1}$.
Mais, vu que $u_{n+1} = u_0 \cdot q^{n+1}$, on a :
$S(1 - q) = u_0 - u_0 \cdot q^{n+1} = u_0(1 - q^{n+1})$
Donc, si $q \ne 1$ :
$S = \dfrac{u_0(1 - q^{n+1})}{1 - q}$
ce qui démontre la formule annoncée.
Pour encourager ses enfants Livio et Olivia à réviser régulièrement, un père très fortuné leur promet 1€ le premier jour et double chaque jour la récompense offerte.
Quelle somme obtient Livio qui lui a travaillé sept jours ?
Olivia vient d'enchaîner trente jours. Quelle récompense doit-elle obtenir ?
Correction.
On remarque que la récompense forme une suite géométrique de premier terme
$u_0 = 1$ et de raison : $q = 2$.
Livio a travaillé 7 jours
Il a donc reçu chaque jour :
$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64$
Soit une somme totale donnée par :
$S_7 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$
C’est une somme de 7 termes d’une suite géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $u_0 = 1$.
On peut écrire cette somme sous forme sigma :
$\sum_{k=0}^{6} 2^k$
On applique la formule :
$S_n = \dfrac{u_0(1 - q^n)}{1 - q}$
Ici, $n = 7$ et $q = 2$
Olivia a travaillé 30 jours
On cherche : $S_{30} = \sum_{k=0}^{29} 2^k$
Avec la même formule :
$S_{30} = \dfrac{1 \cdot (1 - 2^{30})}{1 - 2}$
$= 2^{30} - 1$
On peut utiliser un programme Python pour effectuer le calcul :
def somme_recompense(jours):
total = 0
terme = 1
for _ in range(jours):
total += terme
terme *= 2
return total
# Olivia travaille 30 jours
print(somme_recompense(30))
Le programme retourne : 1073741823
Donc Olivia doit recevoir 1 073 741 823 € (soit plus d’un milliard d’euros !)
Un lièvre court dix fois plus vite qu’une tortue. Celle-ci part avec une avance de 100 mètres.
1. En supposant que la tortue avance pendant que le lièvre atteint chaque point où elle se trouvait auparavant. À l’aide d’un programme Python, approcher la distance parcourue par le lièvre après 10, 20 et 30 étapes.
Correction.
À chaque étape, le lièvre parcourt une distance égale à celle que la tortue a avancée pendant l'étape précédente.
Comme il va 10 fois plus vite, cette distance est toujours 10 fois plus petite que celle qu’il vient de parcourir.
C’est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 100$ et de raison
$q = \dfrac{1}{10}$
On veut approcher la distance avec 20 étapes seulement :
def somme_paradoxe(etapes):
total = 0
terme = 100
for _ in range(etapes):
total += terme
terme *= 1/10
return total
print(somme_paradoxe(10))
print(somme_paradoxe(20))
print(somme_paradoxe(30))
Ce programme additionne les premiers termes : Par exemple, pour les vingt premiers termes, on a
$100 + 10 + 1 + \cdots$ jusqu’à $100 \cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)^{19}$
Il retourne : 111.11111111111111
On conjecture que la somme semble converge très vite vers $\dfrac{1000}{9}$.
Sens de variations d'une suite géométrique
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ avec $q \geq 0$.
Le sens de variation de la suite dépend de la valeur de $q$ et du signe de $u_0$ :
Si $q = 0$, alors pour tout $n \geq 1$, $u_n = 0$ donc la suite est constante.
Si $q = 1$, alors pour tout $n$, $u_n = u_0$ donc la suite est constante.