2 Applications de la dérivation Applications de la dérivation
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Pour la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, on a $f'(x)$ $=$ $2x$.

Donc si $x \leq 0$, alors $f'(x) \leq 0$, et $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$.

Si $x \geq 0$, alors $f'(x) \geq 0$, et $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$
$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$ $f'(x)$ $-$ 0 $+$ $+\infty$ $+\infty$ $f(x)$ décroissante croissante $0$
On remarque que $f$ présente un minimum en $x=0$ qui est égale à $f(0)$ $=$ $0^2$ $=$ $0$.





-- Extremun local
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ contenant $x_0$.
Si $f'$ s'annule, en changeant de signe en $x_0$, alors $f(x_0)$ est un extremum local pour $f$ sur $I$. Étudier l'existence ou non d'un extremum local en $0$ pour les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^4$ et $g(x)=x^3$. Pour la fonction $f$.
On a $f'(x)$ $=$ $4x^3$, et donc $f'$ s'annule en $0$ en changeant de signe. En appliquant la propriété précédente nous avons donc que la fonction $f$ présente un minimum en $0$. On vérifie ici, que la courbe correspondante possède un sommet d'abscisse $x=0$.

Pour la fonction $g$.
On a $g'(x)$ $=$ $3x^2$, et $g'$ s'annule en $0$, mais en restant positive. Ainsi, la fonction $g$ ne possède pas d'extremun local en $0$, chose qui se vérifie en traçant la courbe de la fonction cube.








Fin du chapitre 🥳