Probabilités

2 Probabilités Rappels On considère un univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$, tel que tous les évènements élémentaires sont équiprobables.
Le cardinal d'un évènement $A$ est le nombre d'éléments de $A$ et se note $\text{card}(A)$.
La probabilité d'un évènement $A$ est égale à la proportion dans $\Omega$ d'évènements élémentaires le composant. On a : $P(A)$ $=$ $\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}.$
Soit $A$ un évènement et $\overline{A}$ l'évènement contraire associé. On a : $P(\overline{A})$ $=$ $1-P(A)$.
Soient $A$ et $B$ deux évènements. On a : $P(A\cup B)$ $=$ $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. On tire au hasard une carte d'un jeu de $32$ cartes.
Soit $C$ l'évènement « La carte est un carreau » et $V$ l'évènement « La carte est un valet ».
$C \cap V$ est alors l'évènement « La carte est le valet de carreau ».
Sur les $32$ cartes il y a $8$ carreaux, $4$ valets et $1$ valet de carreau et donc on a :
$P(C)$ $=$ $\dfrac{8}{32}$ $=$ $\dfrac{1}{4}$ ; $P(V)$ $=$ $\dfrac{4}{32}$ $=$ $\dfrac{1}{8}$ et $P(C \cap V)$ $=$ $\dfrac{1}{32}$.

On a alors : $P(C \cup V)$ $=$ $P(C)+P(V)-P(C \cap V)$ $=$ $\dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32}-\dfrac{1}{32}$ $=$ $\dfrac{11}{32}$. Probabilités conditionnelles
Soient $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$ avec $\text{card}(B)$ $\neq$ $0$.
On appelle probabilité de $A$ sachant $B$, la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ est réalisé.
On note $P_B(A)$ cette probabilité et on a :
$P_B(A)$ $=$ $\dfrac{\text{card}(A \cap B)}{\text{card}(B)}$. On teste un médicament sur $500$ personnes dont la moitié a reçu, sans le savoir, un placebo et on a noté les résultats dans le tableau ci-dessous :

	Effets secondaires	Aucun effet secondaire	Total
Médicament	$21$	$229$	$250$
Placebo	$5$	$245$	$250$
Total	$26$	$474$	$500$

On choisit au hasard un des participants à ce test.
En notant $A$ l'évènement « Le participant a reçu un placebo » et $B$ l'évènement « Le participant a ressenti des effets secondaires », on a :
$\text{card}(A\cap B)$ $=$ $5$ et $\text{card}(B)$ $=$ $26$.
Ainsi la probabilité qu'un participant ait reçu un placebo sachant qu'il a ressenti des effets secondaires est :
$P_B(A)$ $=$ $\dfrac{5}{26}$ $\approx$ $0,19$ à $10^{-2}$ près.
Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que $P(A)\neq0$ et $P(B)\neq0$. On a :
$P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P_A(B)$ $=$ $P(B)\times P_B(A)$. Le tableau ci-dessous présente la répartition des salariés d'une entreprise en fonction du type d'emploi et du mode de locomotion utilisé pour se rendre sur le lieu de travail.

	Voiture	Autre	Total
Ouvriers	$20$	$140$
Cadres	$28$
Total			$200$

On rencontre au hasard un employé de cette entreprise et on considère les évènements :
$O$ : « L’employé est un ouvrier » et $V$ : « L’employé se rend en voiture sur son lieu de travail ».

Compléter le tableau.
Déterminer $P(O)$ et $P(O\cap V)$.
Déterminer de deux façons différentes $P_O(V)$.

Voiture Autre Total

Ouvriers $20$ $140$ $160$

Cadres $28$ $12$ $40$

Total $48$ $152$ $200$
$P(O)$ $=$ $\dfrac{160}{200}$ $=$ $0,8$ et $P(O\cap V)$ $=$ $\dfrac{20}{200}$ $=$ $0,1$.

En appliquant la formule : $P_O(V)$ $=$ $\dfrac{P(O\cap V)}{P(O)}$ $=$ $\dfrac{0,1}{0,8}$ $=$ $0,125$.

On retrouve ce résultat à partir du tableau : $P_O(V)$ $=$ $\dfrac{20}{160}$ $=$ $0,125$.

• Les probabilités conditionnelles peuvent s'illustrer à l'aide d'un arbre pondéré.
• La probabilité sur la branche menant de l’évènement $A$ à $B$ est $P_A (B)$.
• Pour obtenir $P (A \cap B)$, on multiplie la probabilité située sur la branche allant vers $A$ par celle située sur la branche qui va de $A$ vers $B$ : $P (A \cap B) = P (A) × P_A (B)$.

Formule des probabilités totales
On dit que les ensembles $A_1$ , $A_2$ , $\dots$, $A_n$ forment une partition de l’univers $\Omega$ si et seulement si :
• les ensembles $A_1$ , $A_2$ , $\dots$, $A_n$ sont tous non vides soit : $\forall i$ , $A_i$ $\neq$ $\emptyset$ ;
• les ensembles $A_1$ , $A_2$ , $\dots$, $A_n$ sont disjoints deux à deux soit : $\forall i$, $\forall j$ , $i \neq j$ , $A_i \cap A_j$ $=$ $\emptyset$ ;
• la réunion des ensembles $A_1$ , $A_2$ , $\dots$, $A_n$ donne $\Omega$ soit : $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ $=$ $\Omega$.

-- Formule des probabilités totales
Soient $A_1$ , $A_2$ , $\dots$, $A_n$ une partition de $\Omega$. Pour tout évènement $B$ de $\Omega$, on a :

$P(B)$ $=$ $P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots+P(B\cap A_n)$,

ou encore

$P(B)$ $=$ $P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+\cdots+P(A_n)\times P_{A_n}(B)$.

$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)+P(B\cap A_4)+P(B\cap A_5)$

Un laboratoire met au point un test rapide de dépistage d’une maladie identifiable par une prise de sang. Le laboratoire publie les données suivantes obtenues à l’issue d’études cliniques :
• La population étudiée comporte 50 % d’individus malades.
• Si un individu est malade, le test est positif dans 99 % des cas.
• Si un individu n’est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas.
L’OMS (Organisation Mondiale de la Santé) estime qu’un test est fiable si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un individu soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à $0,999\,9$.
On choisit un individu au hasard parmi la population étudiée et on considère les évènements :
$M$ : « l’individu est malade » et $T$ : « le test est positif ».
Déterminer si le test est fiable ? On illustre la situation à l’aide d’un arbre pondéré :

D'après la formule des probabilités totales :

$P(T)$	$=$	$P(M)\times P_M(T)+P(\overline{M}\times P_{\overline{M}}(T)$
	$=$	$0,5\times0,99+0,5\times0,001$
	$=$	$0,495\,5$.

De plus : $P(T\cap M)$ $=$ $P(M)\times P_M(T) $ $=$ $0,5\times0,99$ $=$ $0,495$.

Ainsi : $P_T(M)$ $=$ $\dfrac{P(T\cap M)}{P(T)}$ $=$ $\dfrac{0,495}{0,495\,5}$ $\approx$ $0,999\,0$.

D'après les critères de l'OMS, le test n'est donc pas fiable. Indépendance Soient $A$ et $B$ deux évènements de probabilités non nulles.
L'évènement $B$ est indépendant de l'évènement $A$ si et seulement si $P_A(B)$ $=$ $P(B)$.
• Si $B$ est indépendant de $A$, alors $A$ est indépendant de $B$. On dira alors que $A$ et $B$ sont indépendants.

• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$, $A$ et $\overline{B}$, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P(B)$. Preuve

$A$ et $B$ sont indépendants	si et seulement si	$P_A(B)$ $=$ $P(B)$
	si et seulement si	$\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ $=$ $P(B)$
	si et seulement si	$P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P(B)$.

Intuitivement l’évènement $B$ est indépendant de l’évènement $A$ si la connaissance de $A$ ne modifie pas la probabilité de $B$. On veillera cependant en exercice à ne jamais se baser sur l'intuition pour démontrer que deux évènements sont indépendants mais en utilisant seulement les formules du cours. Une certaine année, 65 % des élèves de terminale d’un lycée étaient en filière générale, les autres en filière technologique.
Parmi les élèves de terminale générale, 90,1 % ont réussi le baccalauréat, tandis que 84,5 % des élèves de terminale technologique ont obtenu leur diplôme.
On choisit un élève au hasard parmi les élèves de terminale de ce lycée. On définit les évènements suivants :
$B$ : « l’élève a obtenu le baccalauréat » et $T$ : « l’élève était en terminale technologique ».
Déterminer si les évènements $B$ et $T$ sont indépendants. On construit un arbre pondéré illustrant la situation :

On compare alors $P(B)$ et $P_T(B)$.
On sait que $P_T(B)=0,845$.
De plus, d'après la formule des probabilités totales :
$P(B)$ $=$ $P(T)\times P_T(B)+P(\overline{T})\times P_{\overline{T}}(B)$ $=$ $0,35\times0,845+0,65\times0,901$ $=$ $0,881\,4$.
Ainsi, $P(B)$ $\neq$ $P_T(B)$ et on peut affirmer que les évènements $B$ et $T$ ne sont pas indépendants.

FIN DU CHAPITRE 🥳