2 Dérivation Introduction Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
  1. Quel est le taux de variation de $f$ entre $3$ et $5$ ?
    2. Ce taux vaut : $\dfrac{f(5)-f(3)}{5-3}$ $=$ $\dfrac{5^2-3^2}{2}$ $=$ $\dfrac{25-9}{2}$ $=$ $8$.
  2. Déterminer le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3,1$ ?
    3. $\dfrac{f(3,1)-f(3)}{3,1-3}$ $=$ $\dfrac{3,1^2-3^2}{0,1}$ $=$ $6,1$.
  3. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $3$ et $x$ est égale à $x+3$.
    4. $\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}$ $=$ $\dfrac{x^2-3^2}{x-3}$ $=$ $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}$ $=$ $x+3$.

    On remarque que si on remplace $x$ par $5$ ou $3,1$ ou obtient les résultats aux questions précédentes.
    Par exemple, si on remplace $x$ par $3,01$ on trouve que le taux vaut $6,01$ et si on remplace $x$ par $2,999$, le taux vaut $5,999$.
    Ainsi, si $x$ est proche de $3$, le taux de variation entre $3$ et $x$ est proche de $6$.
  4. Pour tout réel $a$, montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $x$ est égale à $x+a$.
    5. $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ $=$ $\dfrac{x^2-a^2}{x-3}$ $=$ $\dfrac{(x-a)(x+a)}{x-a}$ $=$ $x+a$.

    On remarque ici que si $x$ est proche de $a$, alors le taux de variation entre $x$ et $a$ est proche de $a+a$ $=$ $2a$.

    On peut écrire dans cette situation : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$ $=$ $2a$.
Dans le repère ci-dessous, lorsque $x$ se rapproche de $a$, la sécante $(AB)$ se rapproche d'une tangente dont le coefficient directeur $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ vaut $2a$.
Définitions
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ et $x$ deux nombres de $I$.
Si lorsque $x$ tend vers $a$, avec $x\neq a$, le taux de variation $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers un nombre, ce dernier s'appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.
On dit que $f$ est dérivable en $x=a$ et on écrit : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ $=$ $f'(a)$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x+1$.
Pour tous réels $a$ et $x$, avec $x\neq a$, on a :

$\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}$ $=$ $\dfrac{3x+1-(3a+1)}{x-a}$ $=$ $\dfrac{3x-3a}{x-a}$ $=$ $\dfrac{3(x-a)}{x-a}$ $=$ $3$.

Ainsi, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}$ $=$ $3$ et donc $g'(a)$ $=$ $3$. Tangente Propriétés
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $a\in I$.
Le nombre $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe représentative de $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$.
L'équation réduite de $T$ est : $y$ $=$ $f'(a)(x-a)+f(a)$. Dans le graphique ci-dessous, en déplaçant le point $A$ on peut observer les diverses tangentes à la courbe tracée.
Déplacer le point $A$
L'animation précédente permet de comprendre pourquoi le nombre dérivé $f'(x)$ est également appelé la pente de la courve représentative de $C_f$ quand $f$ est dérivable. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
On va prouver ultérieurement que pour tout réel $x$, $f'(x)=$ $2x$, donc $f'(5)=2\times 5$ $=10$. L'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d''abscisse $5$ est :
$y$ $=$ $f'(5)(x-5)+f(5)$
ssi $y$ $=$ $10(x-5)+25$
ssi $y$ $=$ $10x-25$.

Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle $I$, si elle est dérivable en tout nombre $a$ de $I$.
On définit alors sur $I$ la fonction dérivée de $f$, noté $f'$, qui à tout $x\in I$ associe le nombre dérivée $f'(x)$. Pour $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, on a $f'(x)$ $=$ $2x$.
Pour $g$ la fonction définie $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x+1$, on a $g'(x)$ $=$ $3$.
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels. On les formules de dérivation suivantes :
$f(x)$ $f'(x)$
$a$ $0$
$x$ $1$
$ax$ $a$
$ax+b$ $a$
$x^2$ $2x$
$ax^2$ $2ax$
$ax^2+bx+c$ $2ax$
$x^3$ $3x^2$
$ax^3+bx^2+cx+d$ $3ax^2+2bx+c$
Preuve

On va prouver seulement que $(x^2)'=2x$ et $(\dfrac{1}{x})'=\dfrac{-1}{x^2}$. Les autres résultats sont laissés à titre d'exercices.
Démontrons que la dérivée de la fonction $f(x) = x^2$ est $f'(x) = 2x$.
On utilise la définition de la dérivée comme une limite du taux d'accroissement.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$. Pour $f(x) = x^2$, on remplace dans la formule:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{x^2-a^2}{x-a} }$
En factorisant le numérateur, avec la troisième identité remarquable, on obtient
$\frac{(x+a)(x-a)}{x-a} = x+a$.

On calcule la limite de cette expression lorsque $a$ tend vers $a$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$ $=$ $2a$.

Démontrons que la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
On utilise la définition de la dérivée comme une limite du taux d'accroissement :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$
Pour $f(x) = \frac{1}{x}$, on remplace dans la formule :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a} }$
Pour simplifier le numérateur, on met les fractions au même dénominateur :
$\frac{\frac{a-x}{xa}}{x-a}$.
On peut réécrire cette expression en multipliant par l'inverse du dénominateur :
$\frac{a-x}{xa} \times \frac{1}{x-a}$

Or, $\frac{-(x-a)}{xa} \times \frac{1}{x-a}$ $ = \frac{-1}{xa}$

On calcule la limite de cette expression lorsque $x$ tend vers $a$ :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$ $=$ $\frac{-1}{a \times a} = \frac{-1}{a^2}$.

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $g(x)=\sqrt{x}$.
  1. Démontrer que $g$ est dérivable en tout $a>0$.
  2. Démontrer que $g$ n'est pas dérivable en $0$.

  1. $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}$$=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}}$
    $=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}}$
    $=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}}$
    $=$ $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}.$

    Donc, pour $a>0$, $g'(a)$ $=$ $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\mapsto 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto 0}\frac{\sqrt{x}}{x}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\mapsto 0}\frac{1}{\sqrt{x}}}$ $=$ $+\infty$.
    Donc $g$ n'est pas dérivable en $0$.
Déterminer l'expression des dérivées des fonctions $f$, $g$, $h$ et $i$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=-15x+4$ ; $g(x)=4x^2$ ; $h(x)=x^3+13$ ; $i(x)=5x^3-x^2+13x-4$ On applique les formules du tableau précédent.

Pour $f(x)=-15x+4$, on a $f'(x)=$ $-15$.

Pour $g(x)=4x^2$, on a $g'(x)$ $=$ $4\times 2x$ $=$ $8x$.

Pour $h(x)=x^3+13$, on a $h'(x)=$ $3x^2+0$ $=$ $3x^2$.

Pour $i(x)=5x^3-x^2+13x-4$, on a : $i'(x)$ $=$ $5\times3x^2-2x+13-0$ $=$ $15x^2-2x+13$. Dérivation et opérations Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors $u+v$, $k\times u$, où $k$ est une constante multiplicative, et $u\times v$ sont dérivables sur $I$.
Si de plus $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\dfrac{1}{v}$ et $\dfrac{u}{v}$ sont dérivables sur $I$.

$(u+v)'$ $=$ $u'+v'$

$(k\times u)'$ $=$ $k\times u'$

$(u\times v)'$ $=$ $u'v+v'u$

$\left(\dfrac{1}{v}\right)'$ $=$ $-\dfrac{v'}{v^2}$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'$ $=$ $\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ Preuve:

Démontrons que la dérivée de la somme de deux fonctions, $(u+v)'(a)$, est la somme de leurs dérivées, $u'(a) + v'(a)$.
On utilise la définition de la dérivée comme une limite du taux d'accroissement :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$
Pour la fonction $f(x) = u(x) + v(x)$, on remplace dans la formule :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{(u(x)+v(x))-(u(a)+v(a))}{x-a} }$
On réorganise le numérateur pour regrouper les termes de $u$ et de $v$ :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{(u(x)-u(a))+(v(x)-v(a))}{x-a} }$
On peut séparer la fraction en deux termes distincts :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\left(\dfrac{u(x)-u(a)}{x-a} + \dfrac{v(x)-v(a)}{x-a}\right) }$
La limite d'une somme est la somme des limites (si celles-ci existent). On a donc :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{u(x)-u(a)}{x-a} + \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{v(x)-v(a)}{x-a} }$
Par définition, ces deux limites sont les dérivées de $u$ et $v$ en $a$. On obtient ainsi :
$u'(a) + v'(a)$.

Démontrons que la dérivée du produit de deux fonctions, $(uv)'(a)$, est égale à $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$.
On utilise la définition de la dérivée comme une limite du taux d'accroissement :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$
Pour la fonction $f(x) = u(x)v(x)$, on remplace dans la formule :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{u(x)v(x) - u(a)v(a)}{x-a} }$
Pour manipuler le numérateur, nous allons ajouter et soustraire le terme $u(x)v(a)$ :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{u(x)v(x) - u(x)v(a) + u(x)v(a) - u(a)v(a)}{x-a} }$
On peut alors regrouper les termes et factoriser le numérateur :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{u(x)(v(x)-v(a)) + v(a)(u(x)-u(a))}{x-a} }$
On sépare la fraction en deux termes distincts :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\left(u(x)\dfrac{v(x)-v(a)}{x-a} + v(a)\dfrac{u(x)-u(a)}{x-a}\right) }$
En utilisant les propriétés des limites (limite d'une somme = somme des limites, et limite d'un produit = produit des limites) :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}u(x) \times \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{v(x)-v(a)}{x-a} + \lim_{x\rightarrow a}v(a) \times \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{u(x)-u(a)}{x-a} }$

Or, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}u(x) = u(a)}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}v(a) = v(a)}$. On obtient ainsi :
$u(a) \times v'(a) + v(a) \times u'(a)$

Les fonctions polynômes sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont dérivables sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.

Calculez les dérivées des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$.

  1. $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2$
  2. $g(x) = (x^2 - 3)(5x + 1)$
  3. $h(x) = \dfrac{4x+3}{x^2+1}$

  1. Dérivée d'un polynôme

    Pour $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2$, on applique la formule de dérivation des puissances : $(x^n)' =$ $ nx^{n-1}$.

    $f'(x) =$$ (3x^4)' - (5x^2)' + (7x)' - (2)'$
    $f'(x) =$$ 3(4x^3) - 5(2x) + 7 \times 1 - 0$
    $f'(x) =$ $ 12x^3 - 10x + 7$

  2. Dérivée d'un produit

    Pour $g(x) = (x^2 - 3)(5x + 1)$, on utilise la formule de la dérivée d'un produit : $(uv)' =$ $ u'v + uv'$.
    On pose $u(x) = x^2 - 3$ et $v(x) = 5x + 1$.

    Les dérivées sont $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 5$

    On remplace dans la formule :
    $g'(x) =$$ (2x)(5x + 1) + (x^2 - 3)(5)$
    $g'(x) =$$ 10x^2 + 2x + 5x^2 - 15$
    $g'(x) =$$ 15x^2 + 2x - 15$

  3. Dérivée d'un quotient

    Pour $h(x) = \frac{4x+3}{x^2+1}$, on utilise la formule de la dérivée d'un quotient : $(\dfrac{u}{v})' =$ $ \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
    On pose $u(x) = 4x + 3$ et $v(x) = x^2 + 1$.

    Les dérivées sont $u'(x) = 4$ et $v'(x) = 2x$.

    On remplace dans la formule :
    $h'(x) =$ $ \dfrac{4(x^2+1) - (4x+3)(2x)}{(x^2+1)^2}$
    $h'(x) =$ $ \dfrac{4x^2 + 4 - (8x^2 + 6x)}{(x^2+1)^2}$
    $h'(x) =$ $ \dfrac{4x^2 + 4 - 8x^2 - 6x}{(x^2+1)^2}$
    $h'(x) =$ $\dfrac{-4x^2 - 6x + 4}{(x^2+1)^2}$

Contre-exemple à connaître
La fonction valeur absolue n'est PAS dérivable en $0$. Preuve au programme

Démontrons que la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ n'est pas dérivable en $0$.
On rappelle la définition de la fonction valeur absolue :
$|x| = x$, si $x \ge 0$ et $|x| = -x$, si $x < 0$
Pour déterminer si la fonction est dérivable en $0$, on calcule la limite de son taux d'accroissement au point d'abscisse $0$.
Le taux d'accroissement est donné par : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{|x|-|0|}{x} = \dfrac{|x|}{x}$.
On doit étudier les limites à gauche et à droite de $0$.

1. Limite à droite ($x \to 0^+$) :
Pour $x > 0$, on a $|x| = x$. Le taux d'accroissement est donc $\dfrac{x}{x} = 1$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{|x|}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^+}1 = 1}$.

2. Limite à gauche ($x \to 0^-$) :
Pour $x < 0$, on a $|x| = -x$. Le taux d'accroissement est donc $\dfrac{-x}{x} = -1$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{|x|}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^-}-1 = -1}$.

Puisque les limites à gauche et à droite sont différentes ($1 \ne -1$), la limite du taux d'accroissement en $0$ n'existe pas. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en $0$.





Fin du chapitre 🥳