2 Suites numériques Définitions -- Suite numérique
Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction dont la variable est un entier naturel $n$.
$$\begin{array}{crcl} u_n : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & n & \longmapsto & u(n)= u_n, \text{ pour }n\geq n_0. \end{array}$$
$u_{n_0}$ est le premier terme de la suite.
$u_n$ est le terme de rang $n$, ou terme général de la suite. Il existe plusieurs procédés pour définir une suite, nous en verrons deux :

$\circ$ à l'aide d'une fonction.
$\circ$ par récurrence. On considère la suite $(v_n)$, définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $\displaystyle{v_n=n+\frac{2}{n+1}}$.
On a que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=f(n)$, avec $\displaystyle{f(x)=x+\frac{2}{x+1}}$.
Calculer : $v_0$, $v_1$ et $v_{100}$. $v_0$ $=$ $f(0)$ $=$ $0+\dfrac{2}{0+1}$ $=$ $2$, $v_1$ $=$ $f(1)$ $=$ $1+\dfrac{2}{1+1}$ $=$ $2$ et $v_{100}$ $=$ $f(100)$ $=$ $100+\dfrac{2}{100+1}$ $\approx$ $100,02$. On peut représenter les premiers termes d'une suite à l'aide d'un nuage de points où les abscisses représentent les nombres $n$ et les ordonnées les nombres $u_n$ correspondants.
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$u_0=0,2$ et $\displaystyle{u_n=\frac{3u_{n-1}+2}{u_{n-1}+4}}$.
Ici, pour tout $n\geq1$, $u_n=g(u_{n-1})$, avec $\displaystyle{g(x)=\frac{3x+2}{x+4}}$.
Trouver des valeurs approchées de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_{100}$. $ u_1$ $=$ $g(u_0)$ $=$ $g(0,2)$ $\approx$ $0,619 $, $ u_2$ $=$ $g(u_1)$ $\approx$ $g( 0,619 )$ $\approx$ $0,835 $, $ u_3$ $=$ $g(u_2)$ $\approx$ $g( 0,835 )$ $\approx$ $0,932 $.

Pour calculer $u_{100}$ cela va être un peu long, puisque nous allons devoir connaître $u_{99}$, mais pour calculer celui-ci il va nous falloir $u_{98}$, etc.

On utilise alors l'algorithme suivant : u = 0.2 for i in range (1,101): u = (3*u+2)/(u+4) print(str(i)+" : "+str(u))
Après exécution, on trouve la valeur approchée suivante : $u_{100}\approx 1$. Étant donnée une suite $(u_n)$ définie par récurrence à l'aide de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, on représente les premiers termes de la suite dans un repère du plan à l'aide la droite d'équation $y=x$ et la courbe représentative de la fonction $f$. On notera cette dernière $\mathcal{C}$.
On place $u_0$ sur l'axe des abscisses, et puisque $u_1=f(u_0)$ (c'est-à-dire que $u_1$ est l'image de $u_0$ par $f$), on peut visualiser $u_1$ sur l'axe des ordonnées à l'aide de $\mathcal{C}$.
Il n'est cependant pas pratique d'avoir $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$ sur l'axe des ordonnées. On utilise donc la droite d'équation $y=x$ (la droite où les points ont même abscisse et ordonnée) pour « ramener » $u_1$ sur l'axe des abscisses.
On construit ensuite $u_2$ à partir de $u_1$ de la même façon, et ainsi de suite pour les termes suivants.
Déplacer le curseur -- Sens de variation d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite numérique. Lorsqu'on ne connaît pas a priori le sens de variation d'une suite $(u_n)$ il est alors plus pratique d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$. En effet :
$u_{n+1}-u_n\geq0$ $\Longleftrightarrow$ $u_{n+1}\geq u_n$ $\Longleftrightarrow$ $(u_n)$ est croissante.
$u_{n+1}-u_n\leq0$ $\Longleftrightarrow$ $u_{n+1}\leq u_n$ $\Longleftrightarrow$ $(u_n)$ est décroissante.

Une suite peut-être monotone à partir d'un certain rang $n_0$. Suites arithmétiques
Une suite numérique $(u_n)$ est arithmétique s'il existe une constante $r$, appelée raison, telle que :
$\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }u_{n+1}=u_n+r,$ $\,u_0$ étant donné. Jules gagne 120€ net d'impôts par jour durant son job d'été. On note $(S_n)$ son salaire gagné au bout de $n$ jours.
  1. Justifier que $(S_n)$ est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison.
  2. Déterminer les valeurs de $S_1$, $S_2$, et $S_3$.
  3. Combien Jules aura t-il gagné au bout de 50 jours ?
    1. Comme Jules gagne 120€ net d'impôts par jour, $\forall n\in\mathbb{N},$ $\text{ }S_{n+1}=S_n+120,$ et $(S_n)$ est une suite arithmétique de raison 120 et de premier terme $S_0=0$.
    2. $S_1=120$, puis $S_2=$ $S_1+120=240$, et $S_3=$$S_2+240=120+240=360$.
    3. Au bout de 50 jours, Jules aura gagné $S_{50}=50$ $\times 120= 6000$€.
     On souhaite déterminer la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls:
    1. Compléter les égalités suivantes : 2. On note $S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$. Compléter : 3. En observant les résultats précédents, conjecturer une formule pour $S_n$.
    4. On écrit la somme dans l'ordre direct et dans l'ordre inverse :

    $S_n = 1 + 2 + \cdots + (n-1) + n$
    $S_n = n + (n-1) + \cdots + 2 + 1$

    Ajouter membre à membre ces deux écritures et conclure.
    5. On introduit la notation sigma : Compléter :

    $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \ldots$

    1. Complétons les sommes : 2. Donc : 3. On remarque que : On conjecture que $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 4. On additionne les deux lignes suivantes terme à terme:
    $$S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n $$ $$S_n = n + (n-1) + \cdots + 2 + 1 $$
    et on obtient
    $$2S_n = (1+n) + (2 + (n-1)) + \cdots + (n + 1)$$ Il y a $n$ termes, tous égaux à $n+1$, donc : $$2S_n = n(n+1) \quad \Rightarrow \quad S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 5. On note : $$ \sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$     La somme des $n$ premiers entiers non nuls vaut $$ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}. $$ Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors :
    1. Pour tout entier $n$, $u_n=$ $ u_0+nr$.
    2. Pour tout entiers $n$ et $m$, $u_n=$ $ u_m+(n-m)r$.
    3. Pour tout entier $n$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k}$ $=$ $u_0+u_1+\cdots+u_n$ $=$ $\dfrac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$.
    1. Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, cela signifie que pour tout entier $n$ : $$ u_{n+1} = u_n + r $$ On obtient chaque terme en ajoutant $r$ au terme précédent. Donc, par itération, on obtient $u_n$ en ajoutant $n$ fois la raison $r$ à partir de $u_0$: $$ u_n = u_0 + nr $$
    2. Pour tout entiers $n$ et $m$, on utilise la formule précédente : $$ u_n = u_0 + nr \quad \text{et} \quad u_m = u_0 + mr $$ Donc : $$ u_n = u_m + (n - m)r $$ ce qui donne bien la deuxième propriété.
    3. Pour tout entier $n$, on considère la somme : $$ \sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n $$ En utilisant la première propriété : $$ u_k = u_0 + kr $$ donc : $$ \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=0}^n (u_0 + kr) = \sum_{k=0}^n u_0 + \sum_{k=0}^n kr $$ $$ = (n+1)u_0 + r \sum_{k=0}^n k = (n+1)u_0 + r \cdot \frac{n(n+1)}{2} $$ $$ = \frac{2(n+1)u_0 + rn(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(2u_0 + rn)}{2} $$ Or, d'après la formule $u_n = u_0 + nr$, on a : $$ 2u_0 + rn = u_0 + u_n $$ donc finalement : $$ \sum_{k=0}^n u_k = \frac{(u_0 + u_n)(n+1)}{2} $$
    Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors :
    1. Si $r\geq0$, alors $(u_n)$ est croissante.
    2. Si $r \leq0$, alors $(u_n)$ est décroissante.
    3. Si $r=0$, alors $(u_n)$ est constante.
     Preuve
    La preuve est triviale vue la définition d'une suite arithmétique.









    FIN DU CHAPITRE 🥳