12.2 Trigonométrie Cercle trigonométrique et enroulement de la droite des réels Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O \, ; \, \vec{i} \,, \, \vec{j})$.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$, de rayon $1$, orienté dans le sens indiqué par la flèche (appelé sens direct, également appelé sens positif ou en encore sens trigonométrique), c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique

On place la droite numérique perpendiculaire à (OI) telle que l'origine de la droite numérique coïncide avec le point I et on l’oriente dans le sens de O vers J. On enroule la demi-droite des réels positifs sur le cercle C dans le sens trigonométrique et la demi-droite des réels négatifs sur le cercle C dans le sens indirect.

À chaque nombre réel $x$ de la droite numérique, on associe un unique point $M$ du cercle trigonométrique que l’on appelle point image.

Deux nombres réels $x$ et $x'$ de la droite numérique ont le même point image sur $C$ si et seulement si :
$x = x' + k \times 2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}.$

Principe : Le périmètre du cercle trigonométrique a pour longueur $2\pi$.
Ainsi, pour tout point $M$ du cercle, on peut calculer la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM}$ ou bien « parcourir » plusieurs fois le cercle jusqu’à revenir au point $M$.
La longueur « parcourue » est donc augmentée de $2\pi$ à chaque tour complet de cercle.
En parcourant le cercle dans le sens indirect, on obtient les valeurs négatives.


  1. Dans le cercle trigonométrique ci-dessous, placer les points obtenus par enroulement à partir des nombres $\pi$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{-\pi}{2}$.
  2. Soit $k$ un entier relatif, où se placent les points obtenus par enroulement à partir des nombres $\dfrac{\pi}{2} +k \times 2\pi$ ?
 1.

On rappelle que le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1. Ainsi, son périmètre vaut $2\pi$

Cela signifie que lorsque l’on enroule la droite numérique autour du cercle, toute longueur de $2\pi$ correspond à un tour complet du cercle.

Par exemple, le point associé à $\dfrac{\pi}{2}$ sur la droite vient se superposer au point $J$ du cercle (le point situé à la verticale de $O$). En effet, un quart de tour correspond à : $\dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$

2. Les autres réels de la forme $\dfrac{\pi}{2} +k \times 2\pi$ vont également se placer sur ce même point $J$, après $k$ tours de cercle. Par exemple, $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{2} + 4\pi = \dfrac{9\pi}{2}$, $\cdots$, $\dfrac{\pi}{2} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{2} - 4\pi = -\dfrac{7\pi}{2} ...$ Ils ont tous le même point image sur le cercle trigonométrique, car ils diffèrent de $\dfrac{\pi}{2}$ d’un multiple de $2\pi$.

Le radian est l'unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d'un angle est égale à la longueur de l'arc intercepté par cet angle sur un cercle de rayon 1.
On a ainsi une nouvelle unité de mesure d'angle dans laquelle $180^{\circ} = \pi$ rad puisque la longueur du demi-cercle trigonométrique est $\pi$. Contrairement au degré, le radian permet de prendre en compte l'orientation d'un angle puisqu'il peut être positif ou négatif selon le sens de rotation.

Par proportionnalité, voici les valeurs à retenir.

Degré $0^{\circ}$ $30^{\circ}$ $45^{\circ}$ $60^{\circ}$ $90^{\circ}$ $180^{\circ}$
Radians 0 rad $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$

On considère le cercle trigonométrique. Les triangles OIB et OIC sont des triangles équilatéraux et le quadrilatère OJKE est un carré. La diagonale de ce carré coupe le cercle en D, la hauteur issue de O dans le triangle OIB coupe le cercle en F.

Trouver un réel associé à chacun des points B, D, F et C du cercle par l'enroulement de la droite sur le cercle.

Cosinus et sinus d'un nombre réel Soit $x$ un nombre réel et soit $M(x)$ le point du cercle trigonométrique obtenu par l'enroulement de la droite des réels à partir de $x$.
On appele cosinus de $x$ et on note $cos(x)$ l'abscisse du point $M(x)$.
On appele sinus de $x$ et on note $sin(x)$ l'ordonnée du point $M(x)$.
Déplacer le point $M$

Pour tout réel $x$,
$\circ$ $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq1 $
$\circ$ $\cos^2 x + \sin^2 x$ $=$ $1$. Preuve $\circ$ Le cercle trigonométrique ayant pour rayon 1, tout point de ce cercle a des coordonnées comprises dans $[-1;1]$.
$\circ$ D'après le théorème de Pythagore, $OM^2$ $=$ $\cos^2 x + \sin^2 x$. Or, $OM=1$. D'où le résultat. Valeurs remarquables Nous allons déterminer les valeurs de $\cos(x)$, $\sin(x)$ quand $x$ correspond à des angles remarquables.


Ces démonstrations sont exigibles.

La mesure $\frac{\pi}{4}$ radian correspond à $45^{\circ}$.

Le triangle $OHM$ est rectangle et isocèle en $H$, en effet l'angle $\widehat{OMH}$ est égal à : $180 - 90 - 45 = 45^{\circ}$.

Donc $HO = HM$ et donc : $\sin(\frac{\pi}{4})$ $ = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Or, $\cos^2(\frac{\pi}{4}) + \sin^2(\frac{\pi}{4}) =$$ 1$

Soit :

$\sin^2(\frac{\pi}{4}) + \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 1$

$2\sin^2(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin^2(\frac{\pi}{4}) =$$ \frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{4}) =$$ \sqrt{\frac{1}{2}} =$$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

La mesure $\frac{\pi}{3}$ correspond à $60^{\circ}$ .

Le triangle $OMA$ est isocèle en $O$, en effet $OA=OM=1$.

Donc les angles $\widehat{OMA}$ et $\widehat{MAO}$ sont égaux à : $(180 - 60) : 2 = 60^{\circ}$.

Le triangle $OMA$ est donc équilatéral. Ainsi, la hauteur $(MH)$ est également une médiatrice du triangle. Elle coupe donc $[OA]$ en son milieu.

On a donc : $\cos(\frac{\pi}{3}) =$$ \frac{1}{2}$.

Or, $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \sin^2(\frac{\pi}{3})$$ = 1$

Soit :

$(\frac{1}{2})^2 + \sin^2(\frac{\pi}{3}) = 1$

$\sin^2(\frac{\pi}{3}) =$$ 1 - \frac{1}{4}$

$\sin^2(\frac{\pi}{3}) =$$ \frac{3}{4}$

$\sin(\frac{\pi}{3}) =$$ \sqrt{\frac{3}{4}} =$$ \frac{\sqrt{3}}{2}$

Valeurs remarquables

$t$ $0$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$
$\sin(t)$ 0 $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 1
$\cos(t)$ 1 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ 0

Ces valeurs sont à connaître par cœur, elles seront d'ailleurs largement utilisées dans le chapitre sur les nombres complexes.
Pour tous réels $x$ :
• $\cos(-x)$ $=$ $\cos(x)$
• $\sin(-x)$ $=$ $-\sin(x)$ Mesure des angles et cercle trigonométrique Retour au cercle trigonométrique On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ du plan. Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon 1 est le cercle trigonométrique.
Pour tout point $M$ de $\mathcal{C}$, il existe un unique réel $t\in$ $[0;2\pi[$ tel que les coordonnées de $M$ soient $(\cos(t);\sin(t))$.
Déplacer le point $M$
Question.
Pour tout point $M$ de $\mathcal{C}$, existe-t-il un unique réel $t$ tel que les coordonnées de $M$ soient $(\cos(t);\sin(t))$ ?

Réponse.
Le point $M(1;0)$ est tel que $x_M=\cos(0)$ et $y_M=\sin(0)$, mais également $x_M=\cos(2\pi)$ et $y_M=\sin(2\pi)$.
En fait, pour chaque point $M$ du cercle on peut trouver une infinité de réels $t$ tel que $x_M=\cos(t)$ et $y_M=\sin(t)$, ces réels étant égaux modulo $2\pi$.
L'unicité est en fait bien obtenue si on précise que le réel $t$ doit appartenir à $[0;2\pi[$. Fonction cosinus et fonction sinus Définitions
La fonction qui à tout nombre réel $t$, associe le nombre $\cos(t)$ est appelée fonction cosinus.
$\cos:t\longmapsto\cos(t).$
Déplacer le point M pour tracer la courbe de la fonction cosinus
On construit les points d'abscisse $t$ et d'ordonnée $\cos(t)$ du graphique précédent

La fonction qui à tout nombre réel $t$, associe le nombre $\sin(t)$ est appelée fonction sinus.
$\sin:t\longmapsto\sin(t).$
Déplacer le point M pour tracer la courbe de la fonction sinus
On construit les points d'abscisse $t$ et d'ordonnée $\sin(t)$ du graphique précédent
Propriétés -- Périodicité
Les fonctions cosinus et sinus sont $2\pi$-périodiques.

Pour tout réel $x$, $\cos(x+2\pi)=$ $\cos(x)$,

Pour tout réel $x$, $\sin(x+2\pi)=$ $\sin(x)$. -- Parité
Pour tout réel $t$, $\cos(-t)=$ $\cos(t)$.
On dit que la fonction cosinus est paire.

Pour tout réel $t$, $\sin(-t)=$ $-\sin(t)$.
On dit que la fonction sinus est impaire.
Déplacer le point M pour observer les propriétés de parités : les cosinus sont égaux, alors que le sinus sont opposés.

$\circ$ La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

$\circ$ La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
L'axe des ordonnées est bien axe de symétrie de la courbe de la fonction cosinus
L'origine du repère est centre de symétrie de la courbe de la fonction sinus


FIN DU CHAPITRE 🥳