Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°6 Exercice 5 points Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre. Partie A Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.
En match, Abel réussit son premier service dans $70\,\%$ des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans $80\,\%$ des cas.
En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans $45\,\%$ des cas.

Abel est au service. On considère les évènements suivants:
  1. Décrire l'évènement $\overline{S}$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.
    2. $\overline{S}$ est l'événement contraire de $S$ qui correspond à : « Abel ne réussit pas son premier service ».
  2. Calculer $P(S \cap G)$.
    3. D'après l'arbre on a :
    $P(S \cap G) = P(S)\times P_S(G)$ $=$ $0,7\times 0,8$ $=$ $0,56$.
  3. Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0,695$.
    4. D'après la formule des probabilités totales :
    $P(G) = P(S\cap G)+P(\overline{S}\cap G)$ $=$ $0,56+0,3\times0,45$ $=$ $0,695$.
  4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
    5. On cherche à calculer ici $P_G(S)$ :
    $P_G(S) = \dfrac{P(S\cap G)}{P(G)}$ $=$ $\dfrac{0,56}{0,695}$ $\approx$ $0,806$.
  5. Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
    6. D'après les questions précédentes on a $P_G(S)$ $\approx$ $0,806$ et $P(G)=0,695$, donc $P_S(G) \neq P(G)$, ce qui signifie que les événements $S$ et $G$ ne sont pas indépendants.

    Remarque : On aurait également pu utiliser le fait que $P(S\cap G) \neq P(S)\times P(G)$.
Partie B À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans $85\,\%$ des cas.

On teste successivement $20$ balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées.
  1. Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.
    2. Le fait de regarder si une balle est conforme ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,85$. On la répète $20$ fois e manière indépendante (tirage avec remise). Ainsi, $X$ qui compte le nombre de succès de ce schéma de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètres $20$ et $0,85$.
  2. Calculer $P(X=5)$ et $P(X \leqslant 18)$.
    3. $P(X=5)= \dbinom{20}{5}0,85^5\times 0,15^{15}$ $\approx$ $3,01 \times 10^{-9}$.

    À la calculatrice : $P(X \leq 18) \approx 0,824$.
  3. Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ balles testées ?
    4. Si au moins deux balles ne sont pas conformes, alors au maximum $18$ balles sont conformes, c'est-à-dire que l'on cherche $P(X \leq 18)$ qui vaut à peu près $0,824$ d'après la question précédente.
  4. On s'intéresse dans cette question à un échantillon de taille quelconque $n\geq 1$.
    Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'au moins une balle ne soit pas conforme soit supérieure à $0,99$.
    5. On pose $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles non conformes dans cet échantillon de $n$ balles. Pour les mêmes raisons que $X$, on peut affirmer que $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,15$.
    On cherche ainsi la plus petite valeur de $n$ tel que $P(Y \geq 1) \geq 0,99$.
    $P(Y \geq 1)$ $\geq$ $0,99$
    $1-P(Y =0)$ $\geq$ $0,99$
    $1-\dbinom{n}{0}0,15^0\times 0,85^n$ $\geq$ $0,99$
    $1-0,85^n$ $\geq$ $0,99$
    $-0,85^n$ $\geq$ $0,99-1$
    $-0,85^n$ $\geq$ $-0,01$
    $0,85^n$ $\leq$ $0,01$.
    Or la suite $(0,85^n)$ est décroissante car $0,85\in[0\,;1[$ et :

    $0,85^{28} \approx 0,010\,6 > 0,01$ ;
    $0,85^{29} \approx 0,009 < 0,01$.

    Ainsi, à partir d'un échantillon de taille $29$, la probabilité qu'au moins une balle ne soit pas conforme est supérieure à $0,99$.