Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°4

1. Donner l'expression algébrique d'une fonction, ainsi que son ensemble de définition, telle que :
   • sa courbe représentative possède une asymptote horizontale (dont on précisera l'équation) ;
   • sa limite en $1$ par valeur supérieure et inférieure vaut $+\infty$.
On note $f$ la fonction cherchée et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
Si $\mathcal{C}$ possède une asymptote horizontale, cela signifie que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ est un nombre réel (ou bien $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)}$).

De plus, on sait que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}f(x)=+\infty}$, donc cela veut dire qu'en $1$ on a une situation avec une division où le dénominateur tend vers $0^+$.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$ convient.

En effet, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}(x-1)^2}=+\infty$ donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0}$, et $\mathcal{C}$ possède bien en $+\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y=0$.

Et puisque $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}(x-1)^2 =0^+}$, on a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1}f(x)=+\infty}$.

Remarque : d'autres fonctions vérifient ces deux propriétés.
2. Soient $a$ et $b$ des nombres réels et $f$ la fonction qui a pour expression algébrique : $$f(x)=\text{e}^{-x}+\dfrac{1}{ax+b}.$$ Peut-on trouver des valeurs de $a$ et $b$ telles que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty}$ ?
Si $a\neq0$, alors $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}ax+b=\pm\infty}$ en fonction du signe de $a$, donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{ax+b}=0}$.
De plus, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{-x}=0}$, donc si $a\neq0$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0}$.

Si $a=0$, alors $f(x)=\text{e}^{-x}+\dfrac{1}{b}$ (il faut alors que $b\neq0$ pour que $f$ soit définie) et donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0+\dfrac{1}{b}}$ $=$ $\dfrac{1}{b}$.

Dans tous les cas, la limite de $f$ est un nombre réel, soit $0$, soit $\dfrac{1}{b}$, et ne peut jamais être égale à $-\infty$.

Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $$g(x)=\dfrac{\text{e}^{3x}+\text{e}^x}{\text{e}^{3x}+\text{e}^{2x}}.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans une repère du plan.

1. Montrer que pour tout réel $x$, $g(x)=\dfrac{1+\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-x}}$.
Pour tout réel $x$ on a :

$g(x)$	$=$	$\dfrac{\text{e}^{3x}+\text{e}^x}{\text{e}^{3x}+\text{e}^{2x}}$
	$=$	$\dfrac{\text{e}^{3x}\left(1+\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{3x}}\right)}{\text{e}^{3x}\left(1+\dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{3x}}\right)}$
	$=$	$\dfrac{1+\text{e}^{x-3x}}{1+\text{e}^{2x-3x}}$
	$=$	$\dfrac{1+\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-x}}$.

2. En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale en $-\infty$.
On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{-2x}=+\infty}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty}$, donc il faut encore factoriser dans la dernière expression de $g(x)$ pour pouvoir trouver sa limite en $-\infty$.

$g(x)$	$=$	$\dfrac{1+\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-x}}$
	$=$	$\dfrac{\text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x}+1\right)}{\text{e}^{-x}\left(\text{e}^{x}+1\right)}$
	$=$	$\text{e}^{-2x+x}\times\dfrac{\text{e}^{2x}+1}{\text{e}^{x}+1}$.
	$=$	$\text{e}^{-x}\times\dfrac{\text{e}^{2x}+1}{\text{e}^{x}+1}$.

On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{2x}=0}$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{x}=0}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty}$. Ainsi : $$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^{-x}\times\dfrac{0+1}{0+1}}=+\infty,$$ et $\mathcal{C}$ n'admet pas d'asympte horizontale en $-\infty$.

Déterminer, en justifiant, les limites suivantes.

1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3+x+1}$.
On a :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3}=-\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x=-\infty}$.

Ainsi par somme de limites :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3+x-1=-\infty}$.
2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3+1}{x^2+x+1}}$.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3+1}{x^2+x+1}}$	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)}}$
	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)}{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}}$.


Or, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}} = 0$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^2}} = 0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^3}} = 0$, donc :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}1+\dfrac{1}{x^3}} = 1$ et par produit de limites $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)} = +\infty$.

De plus, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}} = 1$ et par quotient de limites on obtient :

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3+1}{x^2+x+1}}=+\infty.$$
3. $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}0}\text{e}^{\frac{10}{x}}}$.
On a : $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}0}\dfrac{10}{x}}=+\infty$.

Or, $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty}\text{e}^X}=+\infty$, donc par composition de limites : $$\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}0}\text{e}^{\frac{10}{x}}}=+\infty.$$
4. $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}-1}-\dfrac{3}{x+1}}$.
On a le tableau de signes suivant :
Ainsi, $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}-1}\dfrac{1}{x+1}}= -\infty$ et : $$\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}-1}-\dfrac{3}{x+1}}=+\infty.$$
5. $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}\dfrac{2-3x}{4-2x}}$.
On a le tableau de signes suivant :
Ainsi, $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}\dfrac{1}{4-2x}}= -\infty$ et puisque, pour $x=2$, le numérateur vaut $2-3\times 2 = -4$ $< 0$, on a $$\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}\dfrac{2-3x}{4-2x}} = +\infty.$$
6. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-3x}$.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-3x}$	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}\left(1-\dfrac{3x}{\text{e}^{x}}\right)}$
	$=$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}\left(1-3\times\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right)}$.

On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}=+\infty}$ et, par croissance comparée $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0}$, donc par somme et produit de limites :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-3x =\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}(1-3\times 0) } = +\infty$.