Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°3 Déterminer l'expression de la dérivée de chacune des fonctions ci-dessous.
  1. $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$.
    2. La fonction $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
    $u(x)=x+1$ et $u'(x)=1$ ;
    $v(x)=x-1$ et $v'(x)=1$.

    Ainsi, pour tout réel $x\neq 1$ :
    $f'(x)$ $=$ $\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    $=$ $\dfrac{1\times(x-1)-(x+1)\times1}{(x-1)^2}$
    $=$ $-\dfrac{2}{(x-1)^2}$.
  2. $g(x)=\text{e}^{3-5x}+5x^3$.
    3. $g'(x)=-5\text{e}^{3-5x}+15x^2$.
On se place dans un repère de l'espace et on considère les points $A(0\,;\,3\,;-2)$, $B(-1\,;\,2\,;1)$ et $C(2\,;\,1\,;-8)$, ainsi qu'un vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}$.
  1. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
    2. On regarde pour cela si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

    $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$.

    $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \\ z_C-z_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -6\end{pmatrix}$.

    Or, $\dfrac{x_{\overrightarrow{AC}}}{x_{\overrightarrow{AB}}}$ $=$ $-2$ $\neq$ $\dfrac{y_{\overrightarrow{AC}}}{y_{\overrightarrow{AB}}}$ $=$ $2$. Ainsi, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

    Remarque : on peut dire que $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
  2. Le vecteur $\vec{u}$ dirige-t-il la droite $(AB)$ ?
    3. On a $\vec{u} = -3\overrightarrow{AB}$. Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et le vecteur $\vec{u}$ dirige la droite $(AB)$.
  3. Donner une paramétrisation de la droite $d$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$.
    4. La droite $d$ est dirigée par $\overrightarrow{AB}$ et passe par $C$, on a pour paramétrisation :

    $\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & x_C+x_{\overrightarrow{AB}}t \\ y & = & y_C+y_{\overrightarrow{AB}}t \\ z & = & z_C+z_{\overrightarrow{AB}}t \end{array} \right., t\in\mathbb{R}$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 2-t \\ y & = & 1-t \\ z & = & -8+3t \end{array} \right., t\in\mathbb{R}$
  4. Donner les coordonnées d'un point de la droite $d$ qui ne soit pas le point $C$.
    5. On remplace par exemple $t$ par $1$ dans la paramétrisation précédente et on obtient $(1\,;\, 0 \,;\, -5)$.
  5. Le point $D(12\,;\, 11 \,;\, -38)$ appartient-il à $d$ ?
    6. Pour que $D$ appartiennent à $d$ il faut qu'il faut $t\in\mathbb{R}$ tel que : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_D & = & 2-t \\ y_D & = & 1-t \\ z_D & = & -8+3t \end{array}\right.$$ On résout l'équation avec $x_D$ :
    $x_D = 2-t$ $\Longleftrightarrow$ $12 = 2-t$ $\Longleftrightarrow$ $t=-10$.

    En remplaçant $t$ par $-10$ dans la paramétrisation on regarde si on obtient bien $y_D$ et $z_D$.
    En $y$ : $1-t=1-(-10)$ $=$ $11$ $=$ $y_D$.
    En $z$ : $-8+3\times(-10)$ $=$ $-8-30$ $=$ $-38$ $=$ $z_D$.

    Ainsi $D$ appartient à la droite $d$.
Soient $d$ et $d'$ deux droites d'un repère de l'espace dont les représentations paramètriques respectives sont :

$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 3+4t \\ y & = & 7-2t \\ z & = & 3t \end{array} \right., t\in\mathbb{R}$ 20 $\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 3t' \\ y & = & -t'+6 \\ z & = & 4t'-6 \end{array} \right., t'\in\mathbb{R}$
  1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur pour $d$ puis pour $d'$. En déduire si les droites $d$ et $d'$ sont parallèles ou non.
    2. Il suffit pour cela de regarder les coefficients de $t$ et $t'$ dans les paramétrisations.

    Le vecteur $\vec{u}=\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}$ dirige $d$.

    Le vecteur $\vec{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}$ dirige $d'$.

    On a alors que $\dfrac{y_{\vec{u}}}{y_{\vec{v}}} = 2 \neq \dfrac{z_{\vec{u}}}{z_{\vec{v}}} = \dfrac{3}{4}$. Les vecteurs directeurs de $d$ et $d'$ ne sont pas colinéaires et donc les droites ne sont pas parallèles.
  2. Les droites $d$ et $d'$ sont-elles sécantes ? Si oui déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
    3. Pour répondre à cette question il nous résoudre le système suivant :

    $\left\{ \begin{array}{rcl} 3+4t & = & 3t' \\ 7-2t & = & -t'+6 \\ 3t & = & 4t'-6 \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcl} 4t-3t' & = & -3 \\ -2t+t' & = & -1 \\ 3t-4t' & = & -6 \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcl} 4t-3t' & = & -3 \\ t' & = & 2t-1 \\ 3t-4t' & = & -6 \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcl} 4t-3(2t-1) & = & -3 \\ t' & = & 2t-1 \\ 3t-4(2t-1) & = & -6 \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcl} -2t & = & -6 \\ t' & = & 2t-1 \\ -5t & = & -10 \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcl} t & = & 3 \\ t' & = & 2t-1 \\ t & = & 2 \end{array} \right.$

    Le système n'admet donc pas de solution et les droites $d$ et $d'$ sont ainsi non sécantes. Puisqu'elles ne sont ni parallèles, ni sécantes, elles sont non coplanaires.
  3. Soient $A(1\,;\, -1 \,;\, 0)$ un point de l'espace et $M$ un point de $d$.
    1. En utilisant la représentation paramètrique de la droite $d$, justifier qu'il existe une réel $t$ tel que $AM^2 = 29t^2-16t+68$.
      2. Puisque $M\in d$, il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que $M( 3+4t \,;\, 7-2t \,;\, 3t)$.

      On a alors :
      $AM^2$ $=$ $(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2+(z_M-xz_A)^2$
      $=$ $(3+4t-1)^2+(7-2t+1)^2+(3t)^2$
      $=$ $(4t+2)^2+(8-2t)^2+9t^2$
      $=$ $16t^2+16t+4+64-32t+4t^2+9t^2$
      $=$ $29t^2-16t+68$.
    2. Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle $AM^2$ est minimal. En déduire la distance du point $A$ à la droite $d$.
      3. $AM^2$ est un polynôme du second degré avec $a=29>0$, $b=-16$ et $c=68$. Il est minimal pour $t=-\dfrac{b}{2a}$ $=$ $\dfrac{16}{58}$ $=$ $\dfrac{8}{29}$.

      La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0\,; +\infty[$, la distance $AM = \sqrt{AM^2}$ est minimale pour cette même valeur de $t$ et vaut :

      $AM=\sqrt{ 29\times\left(\dfrac{8}{29} \right)^2-16\times\dfrac{8}{29}+68 }$ $=$ $\sqrt{\dfrac{1\,908}{29}}$ $=$ $\dfrac{6}{29}\sqrt{1\,537}$.

      Cette distance minimale entre $A$ et $d$ est par définition la distance de $A$ à $d$.