Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°2
Question de cours
  1. Donner la définition d'une suite minorée.
  2. Donner la définition d'une suite croissante.
Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{15}x^3-\dfrac{2}{5}x^2+\dfrac{3}{5}x$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0,8$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ de $u_1$ et $u_2$.
    2. $u_1 = f(u_0)$ $=$ $f(0,8)$ $\approx$ $0,258$.

    $u_2 = f(u_1)$ $\approx$ $f(0,258)$ $\approx$ $0,129$.
  2. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{1}{5}(x-1)(x-3)$.
    3. Puisque pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{1}{15}x^3-\dfrac{2}{5}x^2+\dfrac{3}{5}x$ on a :
    $f'(x)$ $=$ $\dfrac{3}{15}x^2-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}$
    $f'(x)$ $=$ $\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}$
    $=$ $\dfrac{1}{5}\left(x^2-4x+3\right)$.

    Or, pour tout réel $x$ :

    $(x-1)(x-3)$ $=$ $x^2-3x-x+3$ $=$ $x^2-4x+3$.

    Ainsi :

    $f'(x)=\dfrac{1}{5}(x-1)(x-3)$.
  3. En déduire les variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$.
    4. La fonction $f'(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient du terme du second degré est $\dfrac{1}{5} > 0$, et qui d'après sa forme factorisée possède deux racines : $1$ et $3$.
    Son tableau de signes sur $\mathbb{R}$ est donc :
    $x$ $-\infty$ $1$ $3$ $+\infty$ $f'(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$
    Ainsi, pour tout $x\in[0\,;\,1]$, $f'(x) \geq 0$ et donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle.
  4. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ : 2 $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 1$.
    5. Initialisation
    Pour $n=0$ on a $u_n= u_0=0,8$ et $u_{n+1} = u_1 \approx 0,258$.
    Ainsi, on a bien, pour $n=0$ : $\,\,0 \leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 1$.

    Hérédité
    Supposons que pour un certain entier $n$ on a : $$0 \leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 1.$$ Montrons alors que : $$0 \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 1.$$

    D'après l'hypothèse de récurrence on a :
    $0$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $u_{n}$ $\leq$ $1$
    $f(0)$ $\leq$ $f(u_{n+1})$ $\leq$ $f(u_{n})$ $\leq$ $f(1)$ car $f$ est croissante sur $[0\,;\,1]$.
    $0$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $\dfrac{4}{15}$ par définition de $(u_n)$ et en vérifiant que $f(1)=\dfrac{4}{15}$
    $\Rightarrow$ $0$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $1$ car $\dfrac{4}{15} <1$.


    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ on a : $$0 \leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 1.$$
  5. Que peut-on en déduire pour la suite $(u_n)$ ?
    6. D'après l'encadrement de la question précédente, on peut affirmer que la suite $(u_n)$ est décroissante car pour tout entier $n$, $u_{n+1} \leq u_{n}$.
    Elle est de plus minorée par $0$ et majorée par $1$.
  6. Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$. def suite(n): u = ... for i in range(0,n): ... return u
    7. def suite(n): u = 0.8 for i in range(0,n): u = 1/15*u**3-2/5*u**2+3/5*u return u
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_{n}=\dfrac{n}{2n+1}.$$
  1. Déterminer les valeurs exactes de $v_0$ et $v_1$.
    2. $v_0 = \dfrac{0}{2\times0+1}$ $=$ $0$.

    $v_1 = \dfrac{1}{2\times1+1}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$.
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $$v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)}.$$
    3. Pour tout entier $n$ on a :
    $v_{n+1}-v_n$ $=$ $\dfrac{n+1}{2(n+1)+1}-\dfrac{n}{2n+1}$
    $=$ $\dfrac{n+1}{2n+3}-\dfrac{n}{2n+1}$
    $=$ $\dfrac{(n+1)(2n+1)}{(2n+3)(2n+1)}-\dfrac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}$
    $=$ $\dfrac{2n^2+n+2n+1}{(2n+3)(2n+1)}-\dfrac{2n^2+3n}{(2n+1)(2n+3)}$
    $=$ $\dfrac{2n^2+3n+1}{(2n+3)(2n+1)}-\dfrac{2n^2+3n}{(2n+1)(2n+3)}$
    $=$ $\dfrac{2n^2+3n+1-(2n^2+3n)}{(2n+3)(2n+1)}$
    $=$ $\dfrac{1}{(2n+3)(2n+1)}$.
  3. Que peut-on en déduire pour la suite $(v_n)$ ?
    4. Pour tout entier naturel $n$ on a : $2n+1 > 0$ et $2n+3 > 0$.

    Ainsi, $v_{n+1}-v_n$ $=$ $\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} > 0$ et on peut alors affirmer que la suite $(v_n)$ est strictement croissante.