Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°1
  1. Écrire sous la forme $a+b\sqrt{c}$, avec $a$ et $b$ et $c\in\mathbb{Z}$, les nombres ci-dessous :
    2. $A$ $=$ $10\sqrt{28}-\sqrt{175}+2\sqrt{63}$
    $=$ $10\sqrt{4\times 7}-\sqrt{25\times 7}+2\sqrt{9\times 7}$
    $=$ $10\sqrt{4}\times\sqrt{7}-\sqrt{25}\times\sqrt{7}+2\sqrt{9}\times\sqrt{7}$
    $=$ $20\sqrt{7}-5\sqrt{7}+6\sqrt{7}$
    $=$ $21\sqrt{7}$
    $B$ $=$ $5(3-2\sqrt{7})(3+2\sqrt{7})$
    $=$ $5(3^2-(2\sqrt{7})^2)$
    $=$ $5(9-28)$
    $=$ $-95$.
  2. Montrer que pour tous rées $x$ et $y$ on a : $$(3x-y)^2-(x+3y)^2 = 8x^2-12xy-8y^2.$$
    3. Pour tous rées $x$ et $y$ on a :
    $(3x-y)^2-(x+3y)^2$ $=$ $(3x)^2-6xy+y^2-(x^2+6xy+(3y)^2)$
    $=$ $9x^2-6xy+y^2-x^2-6xy-9y^2$
    $=$ $8x^2-12xy-8y^2$.
  3. Résoudre le système d'équations suivants : $$\left\{ \begin{array}{rcl} 5x +2y & = & 11 \\ 3x-14y & = & -3. \end{array} \right.$$
    4. 9 $\left\{ \begin{array}{rcll} 5x +2y & = & 11 & \textcolor{red}{(1)} \\ 3x-14y & = & -3 & \textcolor{blue}{(2)} \end{array} \right.$

    $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcll} 76y & = & 48 & \,\,3\times\textcolor{red}{(1)}-5\times\textcolor{blue}{(2)} \\ 38x & = & 74 & \,\,7\times\textcolor{red}{(1)}+\textcolor{blue}{(2)} \end{array} \right.$

    $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rclcl} y & = & \dfrac{48}{76} & = & \dfrac{12}{19}\\ & & & \\ x & = & \dfrac{74}{38} & = & \dfrac{37}{19} \end{array} \right.$ Le système admet donc une unique solution : $\left( \dfrac{37}{19} \,;\, \dfrac{12}{19} \right)$.
  4. L'égalité ci-dessous est-elle vraie pour tout entier $n\in\mathbb{N}$ ? $$\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2} = \dfrac{1}{n^2+3n+2}.$$
    5. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}$ $=$ $\dfrac{1\times(n+2)}{(n+1)\times(n+2)}-\dfrac{1\times(n+1)}{(n+2)\times(n+1)}$
    $=$ $\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{n+1}{(n+2)(n+1)}$
    $=$ $\dfrac{n+2-(n+1)}{(n+1)(n+2)}$
    $=$ $\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$
    $=$ $\dfrac{1}{n^2+2n+n+2}$
    $=$ $\dfrac{1}{n^2+3n+2}$.
    L'égalité est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 800$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = 0,87u_n + 60.$$
  1. Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2 = 717,72$.
    2. $u_1$ $=$ $0,87u_0+60$ $=$ $0,87\times800+60$ $=$ $756$.

    $u_2$ $=$ $0,87u_1+60$ $=$ $0,87\times756+60$ $=$ $717,72$.
  2. Après exécution l'algorithme ci-dessous affiche la valeur $48$. Interpréter ce résultat.
    3. n = 0 u = 800 while u > 462: n = n+1 u = 0.87*u+60 print(n) Cette algortihme calcule tous les termes de la suite $(u_n)$ jusqu'à ce que l'un d'entre eux soit inférieur à $462$ (boucle while).
    Puisqu'à chaque itération de la boucle la variable n est incrémentée de $1$ et que sa valeur initiale est de $0$, l'instruction print(n) permet d'afficher le rang du premier terme de la suite qui est inférieur à $462$. Ainsi, grâce à cet algorithme nous savons que $u_{48}$ est le premier terme de la suite à être inférieur à $462$.
  3. Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par: $v_n = u_n - \dfrac{6\,000}{13}$.
    1. Calculer $v_0$.
      2. $v_0 = u_0-\dfrac{6\,000}{13}$ $=$ $800-\dfrac{6\,000}{13}$ $=$ $\dfrac{4\,400}{13}$.
    2. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison égale à $0,87$.
      3. Pour tout entier $n$ :
      $v_{n+1}$ $=$ $u_{n+1}-\dfrac{6\,000}{13}$
      $=$ $0,87u_n+60-\dfrac{6\,000}{13}$
      $=$ $0,87u_n-\dfrac{5\,220}{13}$
      $=$ $0,87\left(u_n-\dfrac{5\,220}{13\times 0,87}\right)$
      $=$ $0,87\left(u_n-\dfrac{6\,000}{13}\right)$
      $=$ $0,87v_n$.
      La suite $(v_n)$ est bien géométrique de raison $0,87$.
    3. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = \dfrac{6\,000}{13} + \dfrac{4\,400}{13} \times 0,87^n.$$
      4. Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,87$, pour tout entier $n$ on a :

      $v_n=v_0\times0,87^n$ $=$ $\dfrac{4\,400}{13}\times0,87^n$.

      De plus, pour tout entier $n$, $v_n = u_n - \dfrac{6\,000}{13}$, ainsi $u_n = v_n + \dfrac{6\,000}{13}$ et donc :

      $u_n = \dfrac{4\,400}{13} \times 0,87^n+\dfrac{6\,000}{13}$ $=$ $\dfrac{6\,000}{13}+\dfrac{4\,400}{13} \times 0,87^n$.
  1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 +3x^2 - 24x + 13.$
    1. Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
      2. Toute fonction polynomiale est définie et est dérivable sur $\mathbb{R}$. C'est donc le cas de $f$ qui est un polynôme de degré $3$.
    2. Déterminer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
      3. Pour tout réel $x$ :
      $f'(x)$ $=$ $3x^2+6x-24$.
    3. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’inéquation $f'(x) \geq 0$.
      4. $f'(x)$ étant un polynôme de degré $2$ on applique la méthode du discriminant pour déterminer son signe :

      Le discriminant $\Delta$ de $f'(x)$ vaut :

      $\Delta$ $=$ $6^2-4\times3\times(-24)$ $=$ $324 > 0$.

      $f'$ possède donc deux racines : $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{324}}{2\times 3}$ $=$ $-4$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{324}}{2\times 3}$ $=$ $2$.

      Puisque le coefficient de $x^2$ est strictement positif, le tableau de signes de $f'$ sur $\mathbb{R}$ est donc :
      $x$ $-\infty$ $-4$ $2$ $+\infty$ $f'(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$
      Ainsi l'inéquation $f'(x) \geq 0$ admet pour solution tous les nombres de $]-\infty\,;\,-4]\cup [2\,;\,+\infty[$.
    4. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
      5. $x$ $-\infty$ $-4$ $2$ $+\infty$ $f'(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$ $93$ $f(x)$ croissante décroissante croissante $-15$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $J = [5\, ;\, 10]$ par : $g(t) = \dfrac{t}{t^2 - 4}.$
    1. Justifier que $g$ est définie et dérivable sur $J$.
      2. Le dénominateur $t^2-4$ s'annule pour $t=-2$ et $t=2$. L'ensemble de définition $[5\, ;\, 10]$ ne contenant pas ces nombres la fonction $g$ est bien définie et dérivable dessus.
    2. Montrer que pour tout $t \in J$, $g'(t)=-\dfrac{t^2+4}{(t^2-4)^2}$.
      3. $g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
      • $u(t)=t$ et $u'(t)=1$ ;
      • $v(t)=t^2-4$ et $v'(t)=2t$.
      Ainsi, pour tout $t\in J$ on a :
      $g'(t)$ $=$ $\dfrac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{v^2(t)}$
      $=$ $\dfrac{t^2-4-t\times (2t)}{\left( t^2-4 \right)^2}$
      $=$ $\dfrac{-t^2-4}{\left( t^2-4 \right)^2}$
      $=$ $\dfrac{-(t^2+4)}{\left( t^2-4 \right)^2}$
      $=$ $-\dfrac{t^2+4}{\left( t^2-4 \right)^2}$.
    3. Donner alors le signe de $g'(t)$ sur $J$ et en déduire le sens de variations de $g$ sur $J$.
      4. Pour tout $t\mathbb{R}$, $t^2 \geq 0$, donc $t^2+4 > 0$.

      Par ailleurs, pour tout $t\in J$, $\left( t^2-4 \right)^2 > 0$, en tant que carré, ainsi, pour tout $t\in J$, $g'(t) <0$ (il y a un signe moins en facteur).

      La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $J$ puisque sa dérivée est strictement négative sur cet intervalle.
Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiple. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapportera 1 point, une réponse multiple ou incorrecte enlève 0,25 point. Si la note de l'exercice est négative, elle est ramenée à 0 point.
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées (a, b, c ou d) est correcte.
La lettre correspondant à la réponse choisie sera recopiée sur votre copie avec le numéro de la question.

  1. On considère l'arbre de probabilité ci-dessous :
    On complète l'arbre de probabilité pour répondre aux questions qui suivent.
    1. La valeur de $P_A(B)$ est :

      A) $0,75$

      B) $0,13$

      C) $0,4$

      D) $0,704\,5$

      2. La valeur de $P_A(B)$ ( « probabilité de l'évènement $B$ sachant que $A$ s'est réalisé » ) se lit directement dans l'arbre : $P_A(B) = 0,75$.
    2. La valeur de $P(B)$ est :

      A) $0,295\,5$

      B) $0,75$

      C) $0,704\,5$

      D) $0,4$

      3. D'après la formule des probabilités totales :

      $P(B)$ $=$ $P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$ $=$ $0,87\times 0,75+0,13\times 0,4$ $=$ $0,704\,5$.
    3. La valeur de $P_B(A)$ est :

      A) $0,295\,5$

      B) $0,75$

      C) $0,113\,1$

      D) $\dfrac{1\,131}{7\,045}$

      4. La valeur de $P_B(A)$ ne peut pas se trouver directement dans l'arbre. Nous devons utiliser la formule des probabilités conditionnelles :

      $P_B(A)$ $=$ $\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ $=$ $\dfrac{0,87\times 0,75}{0,704\,5}$ $=$ $\dfrac{1\,305}{1\,409}$.

      Erreur d'énoncé !
  2. Dans un repère orthonormée du plan on considère les points $A(10\,;\,10)$, $B(12\,;\,10)$ et $C(11\,;\,10+\sqrt{3})$.
    1. Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ vaut :

      A) $2+\sqrt{3}$

      B) $2$

      C) $\sqrt{3}$

      D) $0$

      2. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $=$ $\begin{pmatrix}x_B -x_A \\\ y_B - y_A \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_C -x_A \\\ y_C - y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 \\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ $=$ $2\times1 + 0\times\sqrt{3}$ $=$ $2$.
    2. L'angle $\widehat{BAC}$ mesure :

      A) $30^{\circ}$

      B) $45^{\circ}$

      C) $60^{\circ}$

      D) $65^{\circ}$

      3. On a $AB=\sqrt{2^2+0^2}$ $=$ $2$ et $AC=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}$ $=$ $\sqrt{4}$ $=$ $2$.

      Puisque $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $=$ $AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AC} \right)$, on a alors :

      $\cos\left(\overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AC} \right)$ $=$ $\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\times AC}$ $=$ $\dfrac{2}{4}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.

      Ainsi la mesure algébrique de l'angle $\widehat{BAC}$ est $60^{\circ}$ ou $\dfrac{\pi}{3}$ radians.