Épreuve de mathématiques Terminale Générale ∼ DST n°8 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Exercice Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chaque question une seule affirmation est correcte. Recopier la lettre de la proposition qui correspond à la réponse exacte.
Une réponse correcte rapporte $1$ point, une mauvaise réponse enlève $0,25$ point et une absence de réponse n'ajoute ni n'enlève de point.
  1. Pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln(x^2+x)$ est égal à :
    2. a) $\ln(x^2)\times\ln(x)$

    b) $\ln(x)+\ln(x+1)$

    c) $\ln(x^2)+\ln(x)$

    d) $\ln(x)\times\ln(x+1)$
    Pour tout $x>0$ on a :
    $\ln(x^2+x)=\ln(x(x+1))$ $=$ $\ln(x)+\ln(x+1)$.

    Réponse b.
  2. L'équation $\text{e}^{-3x} = 8$ admet pour solution sur $\mathbb{R}$ :
    3. a) $-\dfrac{8}{3}$

    b) $-\ln(4)$

    c) $3+\ln(8)$

    d) $-\ln(2)$
    $\text{e}^{-3x}$ $=$ $8$
    $\ln\left( \text{e}^{-3x} \right)$ $=$ $\ln(8)$
    $-3x$ $=$ $\ln\left( 2^3 \right)$
    $-3x$ $=$ $3\ln\left( 2\right)$
    $x$ $=$ $\dfrac{3\ln\left( 2\right)}{-3}$
    $x$ $=$ $-\ln(2)$.
    Réponse d.
  3. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\ln(3x)$.
    4. a) $f'(x)=\dfrac{1}{x}$

    b) $f'(x)=\dfrac{3}{x}$

    c) $f'(x)=\dfrac{1}{3x}$

    d) $f'(x)=\ln(x)$
    Pour tout $x>0$, $f(x)=\ln(3x)=\ln(3)+\ln(x)$.
    Ainsi, $f'(x)=0+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}$.
    Réponse a.
  4. L'équation $2\ln(x+1)=1$ admet pour solution sur $[0\,;+\infty[$ :
    5. a) $\sqrt{\text{e}}-1$

    b) $0$

    c) $-\ln(2)$

    d) $\text{e}^2-1$
    $2\ln(x+1)$ $=$ $1$
    $\ln(x+1)$ $=$ $\dfrac{1}{2}$
    $\text{e}^{\ln(x+1)}$ $=$ $\text{e}^{\frac{1}{2}}$
    $x+1$ $=$ $\sqrt{\text{e}}$
    $x$ $=$ $\sqrt{\text{e}}-1$.
    Réponse a.
  5. Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=\ln(5x+1)$. La fonction dérivée $f'$ est définie sur $[0\,;+\infty[$ par :
    6. a) $f'(x)=\dfrac{5}{\ln(5x+1)}$

    b) $f'(x)=\dfrac{1}{5x+1}$

    c) $\dfrac{5}{5x+1}$

    d) $f'(x)=\dfrac{\ln(5x+1)}{5x+1}$
    $f$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x)=5x+1$ et $u'(x)=5$.
    Ainsi, $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ $=$ $\dfrac{5}{5x+1}$.
    Réponse c.
  6. Pour tout réel $a$ strictement positif, $\text{e}^{n\ln(a)}$ est égal à :
    7. a) $na$

    b) $a^n$

    c) $\ln(a^n)$

    d) $na^{n-1}$
    $\text{e}^{n\ln(a)} = \text{e}^{\ln(a^n)} = a^n$.
    Réponse b.
  7. Dans un repère du plan, l'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction logarithmé népérien au point d'abscisse $1$ est
    8. a) $y=x$

    b) $y=\text{e}x$

    c) $y=\text{e}x-1$

    d) $y=x-1$
    L'équation réduite cherchée est :
    $y=\left( \ln(x) \right)'_{x=1}(x-1)+\ln(1)$ $\Longleftrightarrow$ $y=\dfrac{1}{1}(x-1)+0$ $\Longleftrightarrow$ $y=x-1$.
    Réponse d.
  8. Déterminer la seule des formules ci-dessous qui n'est pas vraie pour tout réel $x$.
    9. a) $\ln(x^2)=2\ln(x)$

    b) $\ln(x^2y^2)=\ln(x^2)+\ln(y^2)$

    c) $y=\ln(x^4)=2\ln(x^2)$

    d) $\sqrt{\ln\left( \text{e}^{x^2} \right)}=|x|$
    Toutes les formules sont « algébriquement » correctes, le problème vient de l'ensemble de définition de la fonction logarithme népérien.
    La première formule $\ln(x^2)=2\ln(x)$ n'est vraie que pour $x>0$ et pas pour tout $x\in\mathbb{R}$.
    Réponse a.
  9. Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$. Pour quelle valeur de $x$, la fonction $f$ atteint-elle son maximum sur $]0\,;\,+\infty[$.
    10. a) $x=1$

    b) $x=\dfrac{5}{2}$

    c) $x=\dfrac{878}{323}$

    d) $x=\text{e}$
    On détermine tout d'abord l'expression de la dérivée $f'$ (qui est de la forme $\dfrac{u}{v}$).
    Pour tout $x>0$ :
    $f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln(x)\times1}{x^2}$ $=$ $\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.

    Puisque $x^2>0$, $f'(x)$ est du signe de $1-\ln(x)$. Or :
    $1-\ln(x)$ $\geq$ $0$
    $1$ $\geq$ $\ln(x)$
    $\text{e}$ $\geq$ $x$.
    Ainsi, $f'(x)$ est positif sur $]0\,;\,\text{e}]$ et négatif sur $[\text{e}\,;\,+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur $]0\,;\,\text{e}]$ et décroissante sur $[\text{e}\,;\,+\infty[$ et atteint son maximum en $x=\text{e}$.

    Réponse d.
  10. Soit $h$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $h(x)=x\ln(x)-x^2$. On note $\mathcal{C}_h$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer la seule proposition vraie parmi les suivantes.
    11. a) $\mathcal{C}_h$ est au-dessus de toutes ses tangentes.

    b) $\mathcal{C}_h$ est en-dessous de toutes ses tangentes.

    c) $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.

    d) $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion d'abscisse $\text{e}$.
    Pour trouver la bonne réponse il nous faut déterminer la convexité de $h$ et donc le signe de sa dérivée seconde $h''$.
    On utilise la formule de la dérivée d'un produit :
    $h'(x)=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-2x$ $=$ $\ln(x)-1-2x$.
    $h''(x)=\dfrac{1}{x}-2$.

    On résout alors l'inéquation suivante :
    $h''(x)$ $\geq$ $0$
    $\dfrac{1}{x}-2$ $\geq$ $0$
    $\dfrac{1}{x}$ $\geq$ $2$
    $x$ $\leq$ $\dfrac{1}{2}$ car la fonction inverse est décroissante sur $][\,;\,+\infty$.
    Ainsi, $h''(x)$ s'annule en changeant de signe en $x=\dfrac{1}{2}$. Le point d'abscisse $2$ est donc un point d'inflexion pour $\mathcal{C}_h$.

    Réponse c.