Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°7
  1. Donner les deux formules du cours sur la fonction logarithme népérien qui concernent la dérivation.
    2. Pour tout $x\in]0\,;+\infty[$, $\left( \ln(x) \right)' = \dfrac{1}{x}$.

    Soit $u$ une fonction dont les images sont strictement positives. On a alors : $\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}$.
  2. Justifier, en donnant toutes les formules utilisées, que $5\ln(9)-4\ln(\sqrt{3})+\ln(1)=8\ln(3)$.
    3. On utilise ici $\ln(a^n)=n\ln(a)$ pour $\ln(9)$.
    $\ln(9)=\ln(3^2)=2\ln(3)$.

    On utilise ensuite $\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)$ pour $\ln(\sqrt{3})$.
    $\ln(\sqrt{3}) = \dfrac{1}{2}\ln(3)$.
    Et puisque $\ln(1)=0$, on a donc :
    $5\ln(9)-4\ln(\sqrt{3})+\ln(1)=8\ln(3)$ $=$ $5\times2\ln(3)-4\times\dfrac{1}{2}\ln(3)+0$
    $=$ $10\ln(3)-2\ln(3)$
    $=$ $8\ln(3)$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vec{i}\,, \vec{j}\,, \vec{k})$ d'unité 1 cm, on considère les points : $A(3~;~-1~;~1)$ ; $B(4~;~-1~;~0)$ ; $C(0 ~;~3~;~2)$ ; $D(4~;~3~;~-2)$ et $S(2~;~1~;~4)$.
Dans cet exercice on souhaite montrer que $SABDC$ est une pyramide à base $ABDC$ trapézoïdale de sommet $S$, afin de calculer son volume.
  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    2. On cherche à montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
    $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

    $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C-y_A \\ z_C-z_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$.

    Or, $\dfrac{y_{\overrightarrow{AB}}}{y_{\overrightarrow{AC}}} =0$ $\neq$ $\dfrac{z_{\overrightarrow{AB}}}{z_{\overrightarrow{AC}}} = -1$. Ainsi les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    1. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
      2. On montre pour cela que le vecteur $\overrightarrow{AD}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

      $\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} x_D-x_A \\ y_D-y_A \\ z_D-z_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$.

      On remarque alors que :

      $4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ $=$ $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$ $=$ $\overrightarrow{AD}$.

      Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont donc bien coplanaires.
    2. Montrer que le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$.
      On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.
      3. On détermine tout d'abord les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CD}$ :

      $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} x_D-x_C \\ y_D-y_C \\ z_D-z_C \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.

      Or on a $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ et donc $\overrightarrow{CD} = 4\overrightarrow{AB}$.

      Ainsi les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires et les côtés $[AB]$ et $[CD]$ de $ABCD$ sont parallèles.
      $ABCD$ est donc bien un trapèze.
    1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2~;~1~;~2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
      2. $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ $=$ $2\times1+1\times0+2\times(-1)$ $=$ $0$.

      $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=$ $2\times(-3)+1\times4+2\times1$ $=$ $0$.

      Ainsi le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, c'est donc un vecteur normal de ce plan.
    2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
      3. Puisque le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ est normal à $(ABC)$ une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme : $$2x+y+2z=d,$$ avec $d\in\mathbb{R}$ à déterminer.

      Or le point $C(0\,;3\,;2)$ appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient l'équation précédente et :
      $2x_C+y_C+2z_C$ $=$ $d$
      $2\times0+3+2\times2$ $=$ $d$
      $d$ $=$ $7$.
      Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc : $$2x+y+2z=7.$$
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
      4. La droite $\Delta$ est dirigée par le vecteur $\vec{n}$ puisqu'elle est orthogonale à $(ABC)$ et que $\vec{n}$ est normal à ce plan.
      Ainsi une paramétrisation de $\Delta$ est :

      $\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & x_{\vec{n}}t+x_S \\ y & = & y_{\vec{n}}t+y_S \\ z & = & z_{\vec{n}}t+z_S \\ \end{array}\right., t\in\mathbb{R}$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 2t+2 \\ y & = & t+1 \\ z & = & 2t+4 \\ \end{array}\right., t\in\mathbb{R}.$
    4. On note $I$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
      Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83~\right)$, puis montrer que $\mathrm{SI} = 2\text{ cm}$.
      5. Le point $I$ étant à l'intersection du plan $(ABC)$ et de la droite $\Delta$ ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne ainsi que la paramétrisation précédente.
      Pour déterminer la valeur du paramètre $t$ de la paramétrisation correspondant au point $I$, on injecte celle-ci dans l'équation cartésinne et on obtient :
      $2(2t+2)+(t+1)+2(2t+4)$ $=$ $7$
      $9t+13$ $=$ $7$
      $9t$ $=$ $-6$
      $t$ $=$ $-\dfrac{6}{9}$
      $t$ $=$ $-\dfrac{2}{3}$.
      On remplace maintenant $t$ par $-\dfrac{2}{3}$ dans la paramétrisation que nous avons de la droite $\Delta$ pour obtenir les coordonnées du point $I$.
      $x_I = 2\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)+2$ $=$ $\dfrac{2}{3}$,

      $y_I=-\dfrac{2}{3}+1$ $=$ $\dfrac{1}{3}$,

      $z_I = 2\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)+4$ $=$ $\dfrac{8}{3}$.

      Les coordonnées du points $I$ sont bien $\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83~\right)$.

      Il nous reste à déterminer $SI$ à partir de la formule de la distance entre deux points de l'espace :
      $SI^2$ $=$ $(x_I-x_S)^2+(y_I-y_S)^2+(z_I-z_S)^2$
      $=$ $\left( \dfrac{2}{3}-2\right)^2+\left( \dfrac{1}{3}- 1 \right)^2+\left(\dfrac{8}{3}-4\right)^2$
      $=$ $\left( -\dfrac{4}{3}\right)^2+\left( -\dfrac{2}{3} \right)^2+\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2$
      $=$ $\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{16}{9}$
      $=$ $\dfrac{36}{9}$
      $=$ $4$.
      Ainsi, on a $SI=2$ cm.
    1. Vérifier que le projeté orthogonal $H$ du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $H(3~;~3~;~-1)$ et montrer que $HB = 3\sqrt 2$ cm.
      2. Il nous faut ici vérifier que le point $H$ est bien sur la droite $(CD)$, et que les vecteurs $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux.
      Le vecteur $\overrightarrow{HC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_C-x_H \\ y_C-y_H \\ z_C-z_H \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0-3 \\ 3-3 \\ 2-(-1) \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$.
      Ainsi $\overrightarrow{HC} = -\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CD}$. Les vecteurs sont colinéaires, donc les points $C$, $D$ et $H$ sont alignés et $H$ est bien sur la droite $(CD)$.

      Il nous reste à vérifier que $\overrightarrow{BH}$ est orthogonal à $\overrightarrow{CD}$.

      Or, $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CD}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_H-x_B \\ y_H-y_B \\ z_H-z_B \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 3-4 \\ 3-(-1) \\ -1-0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ $=$ $-4+0+4$ $=$ $0$.

      Ainsi, $(BH)$ est perpendiculaire à $(CD)$ et $H$ est un point de $(CD)$, donc $H$ est bien le projeté orthogonal de $B$ sur $(CD)$.

      Dans le calcul du produit scalaire précédent nous avons déterminé les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BH}$, ainsi :

      $HB$ $=$ $||\overrightarrow{BH}||$ $=$ $\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}$ $=$ $\sqrt{18}$ $=$ $3\sqrt{2}$ cm.
    2. Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze $ABDC$.
      On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule $$\mathcal{A} = \dfrac{b + B}{2} \times h$$ où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.
      3. Les deux bases du trapèze $ABCD$ sont $AB$ et $CD$, et la hauteur est $HB$ puisque $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(CD)$.

      Puisque $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ et que $\overrightarrow{CD} = 4\overrightarrow{AB}$ on a :

      $AB = \sqrt{1^2+0^2+1^2}$ $=$ $\sqrt{2}$ et $CD=4AB$ $=$ $4\sqrt{2}$.

      Ainsi l'aire de $ABCD$ vaut :

      $\mathcal{A}_{ABDC} = \dfrac{AB+CD}{2}\times HB$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\times3\sqrt{2}$ $=$ $\dfrac{3}{2}\times5\sqrt{2}\times\sqrt{2}$ $=$ $15$ cm2.
  5. Déterminer le volume de la pyramide $SABDC$.
    6. Puisque $I$ est le projeté orthogonal de $S$ sur $(ABC)$ alors $SI$ est la hauteur de $SABDC$ issue de $S$ relative à la base $ABDC$. Ainsi :
    $\mathcal{V}_{SABDC} = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{ABDC}\times SI$ $=$ $\dfrac{1}{3}\times15\times2$ $=$ $10$ cm3.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\text{e}^{-0,5x}(-4x^2-12x-40)$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan.
  1. Justifier que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)<0$.
    2. Pour tout réel $x$ on a $\text{e}^{-0,5x} > 0$, ainsi $f(x)$ est du signe du polynôme $-4x^2-12x-40$.
    On calcule alors le discriminant $\Delta$ de ce polynôme.
    $\Delta = (-12)^2-4\times(-4)\times(-40)$ $=$ $-496 < 0$.
    Ainsi $-4x^2-12x-40$ est du signe du coefficient du terme du second degré à savoir $-4 < 0$.
    On peut alors conclure que pour tout réel $x$, $f(x) < 0$.
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\text{e}^{-0,5x}(2x^2-2x+8)$.
    3. $f$ est de la forme $u\times v$ avec :

    $u(x) = \text{e}^{-0,5x}$ et $u'(x) = -0,5\text{e}^{-0,5x}$,
    $v(x)= -4x^2-12x-40$ et $v'(x)=-8x-12$.

    Ainsi, pour tout réel $x$ :
    $f'(x)$ $=$ $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $=$ $-0,5\text{e}^{-0,5x}(-4x^2-12x-40)+\text{e}^{-0,5x}(-8x-12)$
    $=$ $\text{e}^{-0,5x}(2x^2+6x+20)+\text{e}^{-0,5x}(-8x-12)$
    $=$ $\text{e}^{-0,5x}(2x^2+6x+20-8x-12)$
    $=$ $\text{e}^{-0,5x}(2x^2-2x+8)$.
  3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
    4. On a :
    $f'(0) = \text{e}^{0}\times8$ $=$ $8$ et $f(0)=\text{e}^{0}\times40$ $=$ $40$.

    L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est alors :
    $y$ $=$ $f'(0)(x-0)+f(0)$
    ssi $y$ $=$ $8x-40$.
  4. Un logiciel de calcul formel nous permet d'obtenir les résultats suivants :
    > Dériver(Dériver(exp(-0.5x)*(-4x^2-12x-40)))
    >> exp(-0.5x)*(-x^2+5x-6)
    > Factoriser(exp(-0.5x)*(-x^2+5x-6)))
    >> exp(-0.5x)*(2-x)(x-3)
    En exploitant les informations précédentes, déterminer la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    5. La première entrée du logiciel de calcul formel nous permet de comprendre que le résultat affiché est la dérivée de la dérivée de $f(x)$, c'est-à-dire $f''(x)$.
    La deuxième entrée nous permet d'obtenir la forme factorisée de $f''(x)$ à savoir que pour tout réel $x$, $f''(x)=\text{e}^{-0,5x}(2-x)(x-3)$.

    Pour déterminer la convexité de $f$ il nous faut donc trouver le signe de $f''(x)$.
    Puisque pour tout réel $x$, $\text{e}^{-0,5x} >0$, on a que $f''(x)$ est du signe du polynôme $(2-x)(x-3)$ qui s'annule en $2$ et $3$ et donc le coefficient du terme du second degré est $-1 < 0$.
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $x$ $-\infty$ $2$ $3$ $+\infty$ $f''(x)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$
    La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty\,;2]$, convexe sur $[2\,;3]$ et concave sur $[3\,;+\infty[$.
  5. Déduire de la question précédente que pour tout $x\in]-\infty\,;2]$, $f(x)\leq 8x-40$.
    6. Sur l'intervalle $]-\infty\,;2]$, $f$ est concave, elle est donc en dessous de toutes ses tangentes, en particulier celle dont on a déterminé l'équation réduite à la question 3.
    Ainsi, pour tout $x\in]-\infty\,;2]$, $f(x)\leq 8x-40$.
  6. Justifier que pour tout $x\in]-\infty\,;2]$, $\text{e}^{-0,5x}\geq\dfrac{10-2x}{x^2+3x+10}$.
    7. Pour tout $x\in]-\infty\,;2]$ on a :
    $f(x)$ $\leq$ $8x-40$
    $\text{e}^{-0,5x}(-4x^2-12x-40)$ $\leq$ $8x-40$
    $\text{e}^{-0,5x}$ $\geq$ $\dfrac{8x-40}{-4x^2-12x-40}$ en divisant chaque côté par $-4x^2-12x-40 < 0$
    $\text{e}^{-0,5x}$ $\geq$ $\dfrac{-4(-2x+10)}{-4(x^2+3x+10)}$
    $\text{e}^{-0,5x}$ $\geq$ $\dfrac{-2x+10}{x^2+3x+10}$
    $\text{e}^{-0,5x}$ $\geq$ $\dfrac{10-2x}{x^2+3x+10}$.