2nde ∼ DST n°12 Dans un repère du plan, on donne les points : $A(10\,;\,-17)$, $B(8\,;\,5)$ et $C(15\,;\,-77)$.
  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
    2. $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 8-10 \\ 5 - (-17) \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -2 \\ 22 \end{pmatrix}$.

    $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C-x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 15-10 \\ -77 - (-17) \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 5 \\ -60 \end{pmatrix}$.
  2. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
    3. On regarde tout d'abord si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ou non en calculant le déterminant suivant :
    $\text{det}\left(\overrightarrow{AB} \, , \overrightarrow{AC}\right)$ $=$ $\text{det}\left(\begin{pmatrix} -2 \\ 22 \end{pmatrix} \,, \begin{pmatrix} 5 \\ -60 \end{pmatrix} \right)$
    $=$ $-2\times(-60)-22\times 5$
    $=$ $10$
    Ainsi, $\text{det}\left(\overrightarrow{AB} \, , \overrightarrow{AC}\right)$ $\neq 0$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
  3. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
    4. $\overrightarrow{AD}$ $=$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
    $\begin{pmatrix} x_D-x_A \\ y_D-y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -2 \\ 22 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 \\ -60 \end{pmatrix}$
    $\begin{pmatrix} x_D-10 \\ y_D+17 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 3 \\ -38 \end{pmatrix}$
    Or deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées, ainsi :

    $\left\{ \begin{array}{rcl} x_D-10 & = & 3 \\ y_D+17 & = & -38 \end{array}\right.$

    $\left\{ \begin{array}{rcl} x_D & = & 3+10 = 13 \\ y_D & = & -38-17 = -55 \end{array}\right.$

    Les coordonnées du point $D$ sont donc $(13\,;\,-55)$.
Dans un repère du plan, on considère les points : $A(-3 \,;\,3)$, $B(1\,;\,4)$, $C(2\,;\,-0,5)$, $D(-2\,;\,-1,5)$ et $H\left( -\dfrac{32}{17}\,;\, -\dfrac{25}{17} \right)$.
  1. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ?
    2. On peut répondre à cette question à l'aide de plusieurs méthodes.

    Méthode 1 : milieu des diagonales
    Les coordonnées du milieu de $[AC]$ sont :
    $\left( \dfrac{x_A+x_C}{2} \,;\, \dfrac{y_A+y_C}{2} \right)$ $=$ $\left( \dfrac{-3+2}{2} \,;\, \dfrac{3-0,5}{2} \right)$ $=$ $\left( -0,5 \,;\, 1,25 \right)$.

    Les coordonnées du milieu de $[BD]$ sont :
    $\left( \dfrac{x_B+x_D}{2} \,;\, \dfrac{y_B+y_D}{2} \right)$ $=$ $\left( \dfrac{1-2}{2} \,;\, \dfrac{4-1,5}{2} \right)$ $=$ $\left( -0,5 \,;\, 1,25 \right)$.

    Les diagonales de $ABCD$ se coupent ainsi en leur milieu, ce quadrilatère est donc un parallélogramme.

    Méthode 2 : vecteurs
    $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1-(-3) \\ 4 - 3 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$.

    $\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C-x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2-(-2) \\ -0,5 - (-1,5) \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$.

    Ainsi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
  2. Justifier que $C$, $D$ et $H$ sont alignés.
    3. On regarde pour cela si les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CH}$ sont colinéaires en calculant le déterminant suivant :
    $\text{det}\left(\overrightarrow{CD} \, , \overrightarrow{CH}\right)$ $=$ $\text{det}\left(\begin{pmatrix} x_D-x_C \\ y_D-y_C \end{pmatrix} \,, \begin{pmatrix} x_H-x_C \\ y_H-y_C \end{pmatrix} \right)$
    $=$ $\text{det}\left(\begin{pmatrix} -2-2 \\ -1,5-(-0,5) \end{pmatrix} \,, \begin{pmatrix} -\frac{32}{17}-2 \\ -\frac{25}{17}+0,5 \end{pmatrix} \right)$
    $=$ $\text{det}\left(\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} \,, \begin{pmatrix} -\frac{66}{17} \\ -\frac{33}{34} \end{pmatrix} \right)$
    $=$ $-4\times\left(-\dfrac{33}{34}\right) - (-1)\times\left( -\dfrac{66}{17}\right)$
    $=$ $0$.
    Les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CH}$ sont donc colinéaires et les points $C$, $D$ et $H$ sont alignés.
  3. Montrer que le triangle $ADH$ est rectangle en $H$.
    4. $AD^2=(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2$ $=$ $(-2+3)^2+(-1,5-3)^2$ $=$ $21,25$.

    $AH^2 =(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2$ $=$ $\left(-\dfrac{32}{17}+3\right)^2+\left(-\dfrac{25}{17}-3\right)^2$ $=$ $\dfrac{361}{17}$.

    $DH^2 =(x_H-x_D)^2+(y_H-y_D)^2$ $=$ $\left(-\dfrac{32}{17}+2\right)^2+\left(-\dfrac{25}{17}+1,5\right)^2$ $=$ $\dfrac{1}{68}$.

    On a :

    $AH^2+DH^2=\dfrac{361}{17}+\dfrac{1}{68}=\dfrac{85}{4}$ $=$ $21,25$ $=$ $AD^2$.

    Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ADH$ est bien rectangle en $H$.
  4. On rappelle que l'aire d'un parallélogramme est égale au produit entre la longueur d'un côté par la hauteur associée.
    L'aire $\mathcal{A}$ du parallélogramme ci-dessus vérifie : $\mathcal{A}=b\times h$.
    1. Déterminer l'aire de $ABCD$.
      2. $\mathcal{A}_{ABCD}$ $=$ $AB\times AH$
      $=$ $||\overrightarrow{AB}||\times \sqrt{\dfrac{361}{17}}$
      $=$ $\left\lVert\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\right\rVert\times \sqrt{\dfrac{361}{17}}$
      $=$ $\sqrt{4^2+1^2}\times \sqrt{\dfrac{361}{17}}$
      $=$ $\sqrt{17}\times\dfrac{\sqrt{361}}{\sqrt{17}}$
      $=$ $\sqrt{361}$
      $=$ $19$.
    2. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « L'aire du parallélogramme $ABCD$ est égale à $\left|\text{det}(\overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AD})\right|$ » ?
      3. Calculons $\left|\text{det}(\overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AD})\right|$ :
      $\left|\text{det}(\overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AD})\right|$ $=$ $\left| \text{det}\left( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} x_D-x_A \\ y_D-y_A \end{pmatrix} \right) \right|$
      $=$ $\left| \text{det}\left( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} 1 \\ -4,5 \end{pmatrix} \right) \right|$
      $=$ $\left| 4\times(-4,5)-1\times 1 \right|$
      $=$ $\left| -19 \right|$
      $=$ $19$.
      Ainsi on a bien que $\mathcal{A}_{ABCD} = \left|\text{det}(\overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AD})\right|$.
En python une liste de nombre est une variable que l'on définit à l'aide de nombre séparés par des virgules et encadrés par des crochets.
Par exemple l'instruction suivante permet de définir une liste de nombre composée des valeurs : $0,3$ ; $10$ ; $-236$ : L = [0.3 , 10 , -236] On peut accéder aux nombres de cette liste à l'aide de la lettre qui définit la liste suivie d'un numéro entre crochet. Par exemple, avec la liste précédente :
  1. $L[0]$ vaut $0.3$ ;
  2. $L[1]$ vaut $10$ ;
  3. $L[2]$ vaut $-236$.
On peut ainsi en Python définir un point d'un repère du plan comme une liste de deux nombres.
Expliquer en termes géométriques (et à l'aide de calculs) pourquoi, après exécution, l'algorithme suivant affiche $0$. def objet(A,B): return [B[0]-A[0], B[1]-A[1]] def det(u,v): return u[0]*v[1]-v[0]*u[1] M = [5 , 4] N = [11, 9] P = [20 , -4] Q = [32, 6] print(det(objet(M,N) , objet(P,Q))) La fonction objet(A, B) retourne les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ car l'instruction B[0]-A[0] correspond à $x_B-x_A$ et B[1]-A[1] à $y_B-y_A$.

Ainsi, la puisque la fonction det(u,v) renvoie le déterminant de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, la dernière instruction de l'algorithme print(det(objet(M,N) , objet(P,Q))) affiche le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$.

Or, à l'aide des coordonnées données dans l'algorithme pour les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ on a :

$\overrightarrow{MN}$ $=$ $\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PQ}$ $=$ $\begin{pmatrix} 12 \\ 10 \end{pmatrix}$.

On remarque que $\overrightarrow{PQ} = 2\overrightarrow{MN}$ et donc les vecteurs sont colinéaires et leur déterminant vaut $0$. Ce qui explique bien l'affichage de l'algorithme.