2nde ∼ DST n°11 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résoudre les inéquations suivantes :
  1. $(8-x)(3x+5)\leq 0$
    2. Valeurs charnières :
    $8-x$ $=$ $0$ $3x+5$ $=$ $0$
    $-x$ $=$ $-8$ $3x$ $=$ $-5$
    $x$ $=$ $8$ $x$ $=$ $-\dfrac{5}{3}$.

    Tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $-\dfrac{5}{3}$ $8$ $+\infty$ $8-x$ $+$ barre $+$ 0 $-$ $3x+5$ $-$ 0 $+$ barre $+$ $(8-x)(3x+5)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$
    Conclusion :
    Les solutions de l'inéquation $(8-x)(3x+5)\leq 0$ sont tous les nombres de : $$\left]-\infty\,;\,-\dfrac{5}{3}\right]\cup \left[8\,;\,+\infty \right[.$$
  2. $\dfrac{5-4x}{5-3x} \leq 0$
    3. Valeur charnière : Valeur interdite :
    $5-4x$ $=$ $0$ $5-3x$ $=$ $0$
    $-4x$ $=$ $-5$ $-3x$ $=$ $-5$
    $x$ $=$ $\dfrac{-5}{-4}$ $x$ $=$ $\dfrac{-5}{-3}$
    $x$ $=$ $\dfrac{5}{4}$ $x$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.

    Tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $\dfrac{5}{4}$ $\dfrac{5}{3}$ $+\infty$ $5-4x$ $+$ 0 $-$ barre $-$ $5-3x$ $+$ barre $+$ 0 $-$ $\dfrac{5-4x}{5-3x}$ $+$ 0 $-$ interdit $+$
    Conclusion :
    Les solutions de l'inéquation $\dfrac{5-4x}{5-3x}\leq 0$ sont tous les nombres de : $$\left[\dfrac{5}{4}\,;\,\dfrac{5}{3}\right[.$$
  3. $(2x+1)(4x+7)+(2x+1)(-2x+3)<0$
    4. On factorise tout d'abord le membre de gauche de l'inéquation :
    $(2x+1)(4x+7)+(2x+1)(-2x+3)$ $<$ $0$
    $(2x+1)\left((4x+7)+(-2x+3)\right)$ $<$ $0$
    $(2x+1)\left(4x+7-2x+3\right)$ $<$ $0$
    $(2x+1)\left(2x+10\right)$ $<$ $0$.

    Valeurs charnières :
    $2x+1$ $=$ $0$ $2x+10$ $=$ $0$
    $2x$ $=$ $-1$ $2x$ $=$ $-10$
    $x$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$ $x$ $=$ $-\dfrac{10}{2}$
    $x$ $=$ $-5$.

    Tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $-5$ $-\dfrac{1}{2}$ $+\infty$ $2x+1$ $-$ barre $-$ 0 $+$ $2x+10$ $-$ 0 $+$ barre $+$ $(2x+1)(2x+10)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$
    Conclusion :
    Les solutions de l'inéquation $(2x+1)(4x+7)+(2x+1)(-2x+3) < 0$ sont tous les nombres de : $$\left]-5\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[.$$
Une enquête portant sur $5\,000$ clients d'une grande surface spécialisée en informatique a montré que $4\,000$ d'entre eux avaient bénéficié des conseils d'un vendeur.
De plus, $70$ % des clients qui ont bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat alors que $20$ % seulement des clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat.
  1. Montrer que parmi les clients qui ont bénéficié des conseils d'un vendeur, $2\,800$ ont effectué un achat.
    2. Parmi les $4\,000$ clients qui ont bénéficié des conseils d'un vendeur, $70$ % ont effectué un achat, ils sont donc au nombre de $4\,000\times0,7 = 2\,800$.
  2. Compléter le tableau suivant :
    Ont effectué un achat N'ont pas effectué un achat Total
    Ont bénéficié d'un conseil d'un vendeur $2\,800$
    N'ont pas bénéficié d'un conseil d'un vendeur
    Total $5\,000$
    3. Ont effectué un achat N'ont pas effectué un achat Total
    Ont bénéficié d'un conseil d'un vendeur $2\,800$ $1\,200$ $4\,000$
    N'ont pas bénéficié d'un conseil d'un vendeur $200$ $800$ $1\,000$
    Total $3\,000$ $2\,000$ $5\,000$
    La valeur $800$ est obtenue en calculant $20$ % des $1\,000$ clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur (qui ont effectué un achat, cf énoncé).
  3. On interroge au hasard un des clients sur lesquels a porté l'enquête et on admet qu'il y a équiprobabilité.
    On considère les événements suivants :
    1. Déterminer $P(A)$, probabilité de l'événement $A$, puis $P(\overline{C})$.
      2. $P(A)=\dfrac{3\,000}{5\,000} = \dfrac{3}{5}=0,6$.

      L'événement $\overline{C}$ est l'événement contraire de $C$ et donc :

      $P(C)=\dfrac{1\,000}{5\,000}=\dfrac{1}{5}=0,2$.
    2. Définir par une phrase l'événements $A\cap C$.
      3. $A\cap C$ : « le client a effectué un achat et a bénéficié des conseils d'un vendeur ».
    3. Calculer alors $P(A\cap C)$ et $P(A\cup C)$.
      4. $P(A\cap C)=\dfrac{2\,800}{5\,000} = \dfrac{14}{25}$ $=$ $0,56$.

      $P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A\cap C)$ $=$ $\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{14}{25}$ $=$ $\dfrac{21}{25}$ $=$ $0,84$.
On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois à la suite et on compte combien de fois on obtient pile parmi ces quatre lancers.
On note $X$ le nombre de piles obtenu. Ainsi, $X$ peut valoir $0$ si aucun pile n'a été obtenu sur les quatre lancers. Mais on peut avoir également $X=1$, si parmi les quatre lancers un seul pile est obtenu. Et de même $X=2$ si obtient deux piles, $X=3$ pour trois piles et $X=4$ pour quatre piles.
  1. Compléter l'arbre ci-dessous qui représente l'ensemble des possibilités de cette expérience aléatoire et donne au bout de chacune de ses branches le nombres de piles obtenus.
    2. Xmin = 0 Xmax = 10 Ymin = -10 Ymax = 10 function arbre(x,y,pasX, pasY){ segment([x,y],[x+pasX,y+pasY]) segment([x,y],[x+pasX,y-pasY]) } n = 4 pasX = (Xmax-1-Xmin)/n pasY = (Ymax-Ymin)/Math.pow(2,n+2) eps = 0.5 arbre(0,0,pasX-eps,Math.pow(2,n)*pasY) for(k = 1; k < n ; k++){ h = Math.pow(2,n+1-k)*pasY for(l = 0 ; l < Math.pow(2,k-1) ; l++){ arbre(k*pasX,h+2*l*h,pasX-eps,h/2) arbre(k*pasX,-h-2*l*h,pasX-eps,h/2) } } texte("P",[1.9,4.7]) texte("F",[1.9,-5.2]) texte("F",[4.15,2.3]) texte("F",[6.4,1.0]) texte("P",[8.6,1.6]) texte("X=...",[9.0,9.2]) texte("X=...",[9.0,8.0]) texte("X=...",[9.0,6.7]) texte("X=...",[9.0,5.5]) texte("X=...",[9.0,4.2]) texte("X=...",[9.0,3.0]) texte("X=2",[9.0,1.7]) texte("X=...",[9.0,0.4]) texte("X=...",[9.0,-0.8]) texte("X=...",[9.0,-2.2]) texte("X=...",[9.0,-3.4]) texte("X=...",[9.0,-4.7]) texte("X=...",[9.0,-5.8]) texte("X=...",[9.0,-7.2]) texte("X=...",[9.0,-8.4]) texte("X=...",[9.0,-9.8]) Xmin = 0 Xmax = 10 Ymin = -10 Ymax = 10 function arbre(x,y,pasX, pasY){ segment([x,y],[x+pasX,y+pasY]) segment([x,y],[x+pasX,y-pasY]) } n = 4 pasX = (Xmax-1-Xmin)/n pasY = (Ymax-Ymin)/Math.pow(2,n+2) eps = 0.5 arbre(0,0,pasX-eps,Math.pow(2,n)*pasY) for(k = 1; k < n ; k++){ h = Math.pow(2,n+1-k)*pasY for(l = 0 ; l < Math.pow(2,k-1) ; l++){ arbre(k*pasX,h+2*l*h,pasX-eps,h/2) arbre(k*pasX,-h-2*l*h,pasX-eps,h/2) } } texte("P",[1.9,4.7]) texte("F",[1.9,-5.2]) texte("F",[4.15,2.3]) texte("P",[4.15,7.3]) texte("P",[4.15,-2.8]) texte("F",[4.15,-7.8]) texte("F",[6.4,1.0]) texte("P",[6.4,3.5]) texte("F",[6.4,6.0]) texte("P",[6.4,8.5]) texte("P",[6.4,-1.5]) texte("F",[6.4,-4.0]) texte("P",[6.4,-6.5]) texte("F",[6.4,-9.0]) texte("P",[8.6,1.6]) texte("F",[8.6,0.4]) texte("P",[8.6,4.2]) texte("F",[8.6,3.0]) texte("P",[8.6,6.6]) texte("F",[8.6,5.4]) texte("P",[8.6,9.2]) texte("F",[8.6,8.0]) texte("F",[8.6,-2.0]) texte("P",[8.6,-0.8]) texte("F",[8.6,-4.6]) texte("P",[8.6,-3.4]) texte("F",[8.6,-7.0]) texte("P",[8.6,-5.8]) texte("F",[8.6,-9.6]) texte("P",[8.6,-8.4]) texte("X=4",[9.0,9.2]) texte("X=3",[9.0,8.0]) texte("X=3",[9.0,6.7]) texte("X=2",[9.0,5.5]) texte("X=3",[9.0,4.2]) texte("X=2",[9.0,3.0]) texte("X=2",[9.0,1.7]) texte("X=1",[9.0,0.4]) texte("X=3",[9.0,-0.8]) texte("X=2",[9.0,-2.2]) texte("X=2",[9.0,-3.4]) texte("X=1",[9.0,-4.7]) texte("X=2",[9.0,-5.8]) texte("X=1",[9.0,-7.2]) texte("X=1",[9.0,-8.4]) texte("X=0",[9.0,-9.8])
  2. Déterminer la probabilité de l'évènement « n'obtenir aucun pile », c'est-à-dire la valeur de $P(X=0)$.
    3. Parmi les $16$ chemins possibles dans l'arbre, seul un ne contient aucun pile, donc :

    $P(X=0)=\dfrac{1}{16}$.
  3. Compléter le tableau ci-dessous :
    $k$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
    $P(X=k)$ $\dfrac{1}{16}$
    4. On compte le nombre de chemins pour chacun des évènements $\left\{X=k\right\}$ et on divise par le nombre total de chemins, à savoir $16$.
    $k$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
    $P(X=k)$ $\dfrac{1}{16}$ $\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$ $\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{16}$