2nde ∼ Interrogation n°4
Dans le repère ci-dessus les points sont à coordonnées à entières.
  1. Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
    2. $A(0\,;2)$ ; $B(2\,;0)$ ; $C(-3\,;-1)$ ; $D(-1\,;-3)$.
  2. Déterminer les longueur des segments $[AC]$, $[AB]$ et $[BC]$.
    3. $AC^2$ $=$ $(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$
    $=$ $(-3-0)^2+(-1-2)^2$
    $=$ $9+9$
    $=$ $18$
    Ainsi, $AC=\sqrt{18}$ $=$ $\sqrt{9\times2}$ $=$ $\sqrt{9}\times\sqrt{2}$ $=$ $3\sqrt{2}$.
    $AB^2$ $=$ $(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
    $=$ $(2-0)^2+(0-2)^2$
    $=$ $4+4$
    $=$ $8$
    Ainsi, $AB=\sqrt{8}$ $=$ $\sqrt{4\times2}$ $=$ $\sqrt{4}\times\sqrt{2}$ $=$ $2\sqrt{2}$.
    $BC^2$ $=$ $(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2$
    $=$ $(-3-2)^2+(-1-0)^2$
    $=$ $25+1$
    $=$ $26$
    Ainsi, $BC=\sqrt{26}$.
  3. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?
    4. D'après les calculs précédents on a : $AC^2+AB^2=26=BC^2$.
    Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
  4. Calculer les coordonnées du point $P$ milieu de $[BC]$.
    5. $x_P=\dfrac{x_B+x_C}{2}$ $=$ $\dfrac{2+(-3)}{2}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$.

    $y_P=\dfrac{y_B+y_C}{2}$ $=$ $\dfrac{0+(-1)}{2}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$.

    Le point $P$ a donc pour coordonnées : $\left(-\dfrac{1}{2} \,; -\dfrac{1}{2} \right)$.
  5. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ? Un rectangle ? Un carré ?
    6. Calculons les coordonnées du milieu de $[AD]$ :

    $\left( \dfrac{x_A+x_D}{2} \,; \dfrac{y_A+y_D}{2} \right)$ $=$ $\left( \dfrac{0+(-1)}{2} \,; \dfrac{2+(-3)}{2} \right)$ $=$ $\left(-\dfrac{1}{2} \,; -\dfrac{1}{2} \right)$.

    Ainsi, les diagonales de $ABCD$ se coupent en leur milieu, c'est donc un parallélogramme.

    Or, un parallélogramme qui possède un angle droit (ici en $A$ d'après la question 3) est un rectangle.

    $ABCD$ est donc un rectangle, mais il n'est pas un carré car $AB\neq AC$.
Dans un repère du plan, les points $A$, $B$ et $C$ sont tels que $A(-3\,;2)$, $B(4\,;1)$ et $C(-2\,;3)$.
  1. Calculer les coordonnées du point $M$ tel que $A$ soit le milieu de $[BM]$.
    2. On a :
    $x_A$ $=$ $\dfrac{x_B+x_M}{2}$
    $-3$ $=$ $\dfrac{4+x_M}{2}$
    $-3\times2$ $=$ $4+x_M$
    $-6$ $=$ $4+x_M$
    $-6-4$ $=$ $x_M$
    $x_M$ $=$ $-10$.

    De plus :
    $y_A$ $=$ $\dfrac{y_B+y_M}{2}$
    $2$ $=$ $\dfrac{1+y_M}{2}$
    $2\times2$ $=$ $1+y_M$
    $4$ $=$ $1+y_M$
    $4-1$ $=$ $y_M$
    $y_M$ $=$ $3$.
    Le point $M$ a pour coordonnées $(-10\,;3)$.
  2. Calculer les coordonnées du point $N$, symétrique de $C$ par rapport à $A$.
    3. Si $N$ est le symétrique de $C$ par rapport à $A$ alors $A$ est le milieu de $[CN]$. Ainsi :
    $x_A$ $=$ $\dfrac{x_C+x_N}{2}$
    $-3$ $=$ $\dfrac{-2+x_N}{2}$
    $-3\times2$ $=$ $-2+x_N$
    $-6$ $=$ $-2+x_N$
    $-6+2$ $=$ $x_N$
    $x_N$ $=$ $-4$.

    De plus :
    $y_A$ $=$ $\dfrac{y_C+y_N}{2}$
    $2$ $=$ $\dfrac{3+y_N}{2}$
    $2\times2$ $=$ $3+y_N$
    $4$ $=$ $3+y_N$
    $4-3$ $=$ $y_N$
    $y_N$ $=$ $1$.
    Le point $N$ a pour coordonnées $(-4\,;1)$.
  3. Quelle est la nature du quadrilatère $BCMN$ ?
    4. Les diagonales de $BCMN$ ont le même milieu $A$, ainsi ce quadrilatère est un parallélogramme.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse apporte $1$ point.Une réponse fausse ou une réponse multiple à une question enlève $0,25$ point. Une absence de réponse n'enlève, ni n'ajoute de point.
Le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse sont à indiquer sur la copie et non sur le sujet.

Soit $f$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $f(x)=1,25x+1$.
On note $d$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan $(O\,;I\;J)$.
On considère de plus le point $B$ de coordonnées $(12\,;0)$.

Question 1 : Trouver parmi les points ci-dessous celui qui appartient à $d$.
  1. $(17\,;18,9)$
  2. $\left(\dfrac{1}{3}\,; \dfrac{17}{12}\right)$
  3. $(100\,;125)$
Pour vérifier qu'un point appartient à $d$ il faut regarder si son ordonnée est bien l'image de son abscisse par $f$.

Pour le premier point : $f(17)=1,25\times 17+1$ $=$ $22,25$ $\neq$ $18,9$. Donc ce point n'appartient pas à $d$.

Pour le deuxième point : $f\left( \dfrac{1}{3} \right)=1,25\times \dfrac{1}{3}+1$ $=$ $\dfrac{1,25}{3}+\dfrac{3}{3}$ $=$ $\dfrac{4,252}{3}$ $=$ $\dfrac{4,25\times4}{3\times4}$ $=$ $\dfrac{17}{12}$.
C'est donc ce point qui appartient à $d$.

Réponse b. Question 2 : Parmi les trois graphiques ci-dessous trouver celui qui représente $d$.
L'ordonnée à l'origine de $f$ est $1$ mais vu que les trois graphiques passent par le point $(0\,;1)$ cela ne nous permet pas d'éliminer une des propositions.
Par contre le cofficient directeur de $f$ est $1,25$ qui est positif, donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Ce ne peut donc être la réponse $b$.
On peut par contre calculer $f(2)$ $=$ $1,25\times2+1$ $=$ $3,5$. On voit que sur le graphique $c$ l'image ne $2$ n'est même pas visible et est donc au delà de $6$.
Ainsi, la réponse est la $a$. Question 3 : Laquelle des propriétés ci-dessous est vraie ?
  1. $OB=144$
  2. Le point $B$ appartient au disque de centre $O$ et de rayon $11$.
  3. $x_B^2+y_B^2=144$
Cette question porte sur la distance $OB$ :
$OB^2$ $=$ $(x_B-X_O)^2+(y_B-y_O)^2$
$=$ $(x_B-0)^2+(y_B-0)^2$
$=$ $x_B^2+y_B^2$
$=$ $0^2+12^2$
$=$ $144$.
La bonne réponse est la $c$. Question 4 : Parmi les points ci-dessous trouver celui qui est le projeté orthogonal de $B$ sur $d$.
  1. $\left( \dfrac{172}{41} \,; \dfrac{256}{41} \right)$
  2. $(4,2 \,; 6,2)$
  3. $(0\,;1)$
On sait que le projeté orthogonal $M$ de $B$ sur $d$ minimise la distance entre $B$ et $d$.
Il nous suffit donc de calculer les distances entre $B$ et les trois points proposées et celle qui sera la plus petite nous donnera la bonne réponse.
Appellons $M\left( \dfrac{172}{41} \,; \dfrac{256}{41} \right)$, $N(4,2 \,; 6,2)$ et $P(0\,;1)$ ces trois points.
On peut directement faire les calculs à la calculatrice et regarder le plus petit résultat, vu qu'ici ce n'est pas nécessaire de trouver une valeur exacte.

$BM^2=\left( \dfrac{172}{41}-0 \right)^2+\left( \dfrac{256}{41}-12 \right)^2$ $\approx$ $50,732$.

$BN^2$ $=$ $(4,2-0)^2+(6,2-12)^2$ $\approx$ $51,28$.

$BP^2$ $=$ $(0-0)^2+(1-12)^2$ $=$ $121$.

La bonne réponse est la $a$.