Sujet 0 ∼ Voie technologique
Sujet 1
Évaluation en fin de première
Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0
Voie Technologique
Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts) Question 1
Jean consacre $25 \%$ de sa journée de dimanche à faire ses devoirs.
$80 \%$ du temps consacré aux devoirs est consacré à faire un exposé.
Le pourcentage du temps consacré à l'exposé par rapport à la journée de dimanche est égal à :
  1. $80 \% - 25\%$
  2. $\dfrac{1}{4}\times 80\%$
  3. $0,08\times 25 \%$
  4. Cela dépend de la durée de la journée de dimanche.
Question 2
Un prix diminue de $50 \%$. Pour retrouver le prix initial, il faut une augmentation de :
  1. $50 \%$
  2. $100 \%$
  3. $150 \%$
  4. $200 \%$
Question 3
Le prix d'une tablette a baissé : il est passé de $250$ euros à $200$ euros.
Cela signifie que ce prix a été multiplié par :
  1. $1,25$
  2. $0,75$
  3. $0,8$
  4. $-0,8$
Question 4
La seule égalité vraie est :
  1. $40 \times \dfrac{1}{40^2} = 40^2$
  2. $\left(2^{-4}\right)^3 = 2^{-1}$
  3. $\dfrac{10^{-5}}{10^8} = 10^{-13}$
  4. $5^{-6} \times 11^{-6} = 55^{-12}$
Question 5
L'épaisseur d'une feuille de papier est égale à $70\times 10^{-3}$ mm.
L'épaisseur d'une pile de $2\,000$ feuille est égale à :
Cela signifie que ce prix a été multiplié par :
  1. $140$ cm
  2. $14$ mm
  3. $14$ cm
  4. $72$ cm
Question 6
Voici quatre planètes et leur masse :
Terre $5\,973\times 10^{21}$ kg
Mercure $33,02\times 10^{22}$ kg
Vénus $48\,685\times 10^{20}$ kg
Mars $6,418\,5\times 10^{23}$ kg
La planète dont la masse est la plus importante est :
  1. Terre
  2. Mercure
  3. Vénus
  4. Mars
Question 7
On additionne un nombre réel $x$, avec son triple et son carré. Le résultat est égale :
  1. $(x+3x)^2$
  2. $x+(3x)^2$
  3. $1+3x^2$
  4. $4x+x^2$
Question 8
Dans la figure ci-contre, les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$ est
  1. $[-2\,;\,-1]$
  2. $[1,;\,2]$
  3. $[-2\,;\,-1]\cup [1\,;\,2]$
  4. $[-2\,;\,-1]\cap [1\,;\,2]$
Question 9
On donne ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3~;~2]$. On s'intéresse à l'équation $f(x) = 0$.
  1. L'équation $f(x) = 0$ n'admet aucune solution.
  2. L'équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution.
  3. L'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions, et ces solutions sont négatives.
  4. L'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions, et ces solutions sont de signes contraires.
Question 10
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dont le tableau de signes est donné ci-dessous.
$x$ $-\infty$ $2$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$
Parmi les quatre expressions proposées pour la fonction $f$, une seule est possible.
  1. $f(x) = -3 x+6$
  2. $f(x) = x+2$
  3. $f(x) = x-2$
  4. $f(x) = -4 x+2$
Question 11
On considère la relation $C= (1 + t)^{2}$. On cherche à isoler la variable $t$. On a :
  1. $t=\sqrt{C-1}$
  2. $t=\sqrt{C}-1$
  3. $t=\sqrt{1-C}$
  4. $t=1-\sqrt{C}$
Question 12
Le diagramme en barres ci-contre donne la production d'électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).
Hydraulique
Thermique
Nucléaire
L'année où la production d'électricité d'origine hydraulique était la plus importante est :
  1. 1995
  2. 2001
  3. 2011
  4. 2016
DEUXIÈME PARTIE (14 pts) Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île.
En 2025, elle estime qu'il y a $1\,000$ singes sur l'île.

A. Premier modèle
Chaque année, la population de singes baisse de $10\,\%$.
  1. Montrer qu'en 2026, il y aura $900$ singes sur l'île.
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025 + n$.
    On a donc $u_0 = 1\,000$.
    1. Indiquer ce que représente $u_2$ et calculer sa valeur.
    2. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
    3. Donner les variations de cette suite.
  3. Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier.


B. Second modèle
On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $(v_n)$ ainsi définie : $$\left\{\begin{array}{l c l} v_0 & = & 1\,000 \\ v_{n+1} & = & 0,9v_n+150 \: ; \: n \in \mathbb{N} \end{array}\right.,$$ où $v_n$ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025 + n$.
  1. Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ?
    Détailler le calcul.
  2. La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $(v_n)$.
    Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite $(v_n)$ ?
    3. A B
    1nVn
    201000
    311050
    421095
    531136
    641172
    751205
    861234
    971261
    1081285
    1191306
    12101326
    13111343
    14121359
    15131373
    16141386
    17151397
    18161407
    19171417
    20181425
    21191432
  3. Indiquer en quelle année, la population de singes dépassera pour la première fois $1\,400$ individus.
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~6]$.
Sa courbe représentative, notée $\mathcal{C}$ est donnée ci-contre.
  1. On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées $(0~;~8)$, $(2~;~0)$ et $(4~;~-8)$.
  2. On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 2$.
  3. On sait que la tangente $T$ coupe l'axe des ordonnées en $y = 12$.
    On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
    1. Déterminer les valeurs de $f(2)$ et $f'(2)$.
    2. Donner une équation de la tangente $T$.
    3. Recopier et compléter le tableau de variation ci-dessous en utilisant le graphique.
      $x$ $-2$ $0$ $4$ $6$ Variations de $f$
  2. On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2 ; 6]$ par $f(x)=0,5 x^{3}-3 x^{2}+8$.
    1. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2 ; 6]$, on a $f'(x)=1,5 x(x-4)$.
    2. Étudier le signe de $f'(x)$ et retrouver le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 6]$.
  3. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~2]$ on a $f(x) \leqslant -6 x + 12$.
    Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$ sur l'intervalle $[0~;~2]$ ?
Indiquer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.
  1. Afin de lutter contre le dopage dans le sport, un test a été mis en place.
    En principe, ce test est POSITIF lorsque le sportif est dopé, et NÉGATIF lorsqu'il n'est pas dopé. Toutefois, ce test peut commettre des erreurs : il peut être positif lorsque le sportif n'est pas dopé, et négatif lorsque le sportif est dopé.

    Le tableau ci-dessous donne les résultats recueillis auprès de 200 coureurs ayant participé à un marathon.
    Coureur non dopé Coureur dopé Total
    Test positif $15$ $5$ $20$
    Test négatif $178$ $2$ $180$
    Total $193$ $7$ $200$
    1. On choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés.
      Affirmation 1 : La probabilité que le coureur ne soit pas dopé ou soit testé positif est égale à $\dfrac{213}{200}$.
    2. On choisit un coureur au hasard parmi ceux ayant eu un test positif.
      Affirmation 2 : Il y a $7\,5\%$ de chances que le coureur ne soit pas dopé.
    3. On choisit un coureur au hasard parmi les $200$~coureurs testés.
      Affirmation 3 : La probabilité que le coureur soit concerné par une erreur de test est égale à $8,5\,\%$.
  2. Au tennis, un SERVICE peut être réussi ou manqué. Une joueuse de tennis s'entraîne à faire des services. On admet que : La joueuse fait deux services. Affirmation 4 : La probabilité qu'exactement un service soit réussi sur les deux est égale à $0,09$.