Variables aléatoires Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous :
$k$ $-1$ $0$ $2$ $10$
$P(X=k)$ $0,40$ $0,25$ $0,20$
  1. Compléter le tableau.
  2. Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
  3. Déterminer $P(X\leq 0)$, $P(X\leq 1)$ et $P(X > -1)$.
L'un des jeux à gratter les plus populaires de la Française des Jeux, dont le ticket coûte $2$ €, a ses gains répartis de la façon suivante :
Gain en € Nombre de tickets
$20\,000$ $4$
$1\,000$ $9$
$200$ $415$
$30$ $2\,112$
$18$ $44\,992$
$8$ $225\,008$
$4$ $450\,008$
$2$ $657\,544$
$0$ $31\,259\,908$
Soit $G$ la variable aléatoire donnant le gain d'un joueur qui a gratté un ticket de ce jeu.
Pour les a) et b), on donnera les résultats à $10^{-8}$ près.
  1. Donner $P(G=20\,000)$ et $P(G=0)$.
  2. Déterminer $P(G\geq 2)$ et interpréter le résultat.
  3. Calculer l'espérance $\text{E}(G)$ de la variable $G$ et conclure.
  4. La Française des Jeux affirme redistribuer au moins $10\,\%$ des gains de ce jeu aux joueurs. Est-ce vrai ?
On lance simultanément deux dés équilibrés et on considère la variable aléatoire $S$ qui donne la somme des numéros des deux faces obtenues.
On souhaite saisir une formule dans la cellule B2 du tableur ci-dessous pour qu'en tirant vers la droite et le bas, on affiche tous les résultats possibles de $S$.
  1. Une personne propose de saisir dans B2 la formule « = A2+B1 » mais les résultats affichés ne sont pas corrects.
    Comment modifier cette formule pour répondre au problème ?
  2. Donner la loi de probabilité de $S$ (on pourra s'aider du tableur).
  3. Calculer $\text{E}(S)$ et commenter le résultat.
  4. Donner $P(S\geq 3)$ et $P(5 \leq S \leq 9)$.
  5. On désire transformer ce jeu en un jeu d'argent tel que si un joueur obtient $12$ alors il gagne $90$ € et $0$ € pour tout autre résultat.
    Quel prix maximum le joueur doit-il débourser pour que le jeu lui soit favorable ?
Soient $A$ et $B$ deux évènements d'un même univers.
On considère l'arbre de probabilité ci-dessous :
  1. Compléter l'arbre.
  2. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
  3. Déterminer, à $10^{-3}$ près, $P(A\cap B)$, $P(\overline{A}\cap B)$.
Dire si les situations suivantes sont des épreuves de Bernoulli.
  1. « On lance un dé équilibré et on regarde si on tombe sur un numéro pair. »
  2. « On lance un dé équilibré et on le note le numéro obtenu. »
  3. « Parmi l'ensemble des foyers fiscaux d'une municipalité, on note, en en choisissant un au hasard, le nombre d'enfants de ce dernier. »
  4. « Parmi tous les dossiers de ses patients, un médecin en choisit un au hasard et regarde si il correspond à un patient majeur. »
Dire si les situations suivantes sont des schémas des Bernoulli :
  1. « On lance $5$ fois une pièce de monnaie équilibrée et on regarde, à chaque lancer si on obtient pile ou non. »
  2. « Une urne contient $10$ boules bleues et $10$ boules blanches.
    On tire sans remettre dans l'urne une boule au hasard et on regarde si elle est bleue ou non.
    On répète $3$ fois ce tirage. »
  3. « Une urne contient $10$ boules bleues et $10$ boules blanches.
    On tire dans l'urne une boule au hasard et on regarde si elle est bleue ou non. On remet ensuite la boule dans l'urne.
    On répète $3$ fois ce tirage. »
L'arbre de probabilité ci-dessous correspond à un schéma de Bernoulli de paramètres $2$ et $0,15$.
  1. Compléter l'arbre.
  2. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès $S$.
    1. Déterminer $P(X=0)$ et $P(X > 0)$.
    2. Donner la loi de probabilité de $X$.
    3. Calculer $\text{E}(X)$.
Un laboratoire développe un test de détection rapide pour un virus respiratoire.
Ce test a été évalué sur une large population : il détecte la présence du virus dans $90\,\%$ des cas lorsqu’il est effectivement présent.
Un centre de dépistage veut confirmer le bon fonctionnement de ce test et décide de l'utiliser sur $3$ patients infectés.
  1. On suppose que les tests sont indépendants les uns des autres.
    On appelle « succès » le fait que le test détecte bien le virus (donne un résultat positif chez un patient infecté) et on note $S$ cet évènement.
    1. Sommes-nous en présence d'un schéma de Bernoulli ?
    2. Calculer $P(S)$ et $P(\overline{S})$.
  2. Construire l’arbre de probabilité modélisant les $3$ tests consécutifs.
  3. On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de tests positifs (détections réussies) parmi les $3$.
    Quelles sont les valeurs possibles prises par $ X $ ?
  4. Compléter le tableau de la loi de probabilité de $ X $ :

    $k$ 0 1 2 3
    $ P(X = k) $ ... ... ... ...
  5. Calculer l’espérance $\text{E}(X) $ de la variable aléatoire $ X $.
  6. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
On suppose que chacun des deux moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne avec une probabilité de $0,001$, de façon indépendante l'un de l'autre.
Cet avion peut voler si au moins un des deux moteurs fonctionne.
On note $M_1$ et $M_2$ les évènements : « Le moteur $1$ tombe en panne » et « Le moteur $2$ tombe en panne ».
  1. Sommes-nous en présence d'un schéma de Bernoulli ?
  2. Construire un arbre de probabilité illustrant la situation.
  3. Déterminer $P(M_1 \cap M_2)$.
  4. Cet avion doit effectuer un trajet. Quelle est la probabilité qu'il arrive à bon port ?
  5. Après exécution, l'algorithme ci-dessous affiche $607\,019$. Interpréter ce résultat.
    6. from random import* vol = 0 while random() > 0.000001: vol = vol+1 print(vol)