Suites numériques (2) Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=7$ et de raison $6$.
Donner les quatre termes suivants. Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0=5$ et de raison $1,04$.
Donner les quatre termes suivants. Compléter le tableau suivant pour déterminer les premiers termes des suites arithmétiques $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$u_n$ $5$ $8$
$v_n$ $35$ $27$
$w_n$ $17$ $31$
Compléter le tableau suivant pour déterminer les premiers termes des suites géométriques $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ dont les raisons sont positives.
Les résultats seront, si nécessaires, arrondis à $10^{-1}$
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$u_n$ $100$ $90$
$v_n$ $8$ $32$
$w_n$ $3$ $9$
  1. Soit $(c_n)$ la suite arithmétique telle que $c_{8}=12$ et $c_{20} = 24$.
    Déterminer $c_0$ et sa raison $r$.
  2. Soit $(d_n)$ la suite géométrique, à termes positifs, telle que $d_{5}=96$ et $d_{7} = 384$.
    Déterminer $c_0$ et sa raison $q>0$.
Soient la suite arithmétique $(u_n)$ et la suite géométrique $(v_n)$ dont on a représenté les premiers termes dans le nuage de points ci-dessous.
  1. Associer à chaque nuage de points la suite qui lui correspond.
  2. Donner les premiers termes et les raisons de ces deux suites.
  3. Déterminer $u_{10}$ et $v_{10}$.
Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_0=120$ et pour tout entier $n$ : $$a_{n+1}=0,9a_n+4.$$
  1. Calculer $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$.
  2. En déduire que $(a_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
  3. L'algorithme donné ci-dessous affiche $27$. Comment interpréter ce résultat pour la suite $(a_n)$ ?
    4. a = 120 n = 0 while a > 45: a = 0.9*a+4 n = n+1 print(n)
Une agence régionale de santé suit l'évolution du nombre annuel de cas de tuberculose dans une région.

En 2024, $1\,000$ cas ont été recensés.

A. Premier modèle
Grâce aux campagnes de prévention et aux progrès médicaux, le nombre de cas devrait diminuer de $8\,\%$ par an.
  1. Montrer qu’en 2025, on peut estimer le nombre de cas à $920$.
  2. Pour tout entier naturel $ n $, on note $ u_n $ le nombre de cas de tuberculose pour l’année $ 2024 + n $. On a donc $ u_0 = 1\,000 $.
    1. Que représente $ u_2 $ ? Calculer sa valeur.
    2. Déterminer la nature de la suite $ (u_n) $. Préciser sa raison.
    3. Donner les variations de cette suite.
  3. Ce modèle suggère-t-il une disparition totale de la maladie à long terme ? Justifier.


B. Second modèle
Un second modèle prend en compte l’existence de cas résiduels, notamment chez les personnes à risque (sans-abri, personnes âgées, etc.). On suppose qu’en plus de la baisse naturelle, $70$ nouveaux cas apparaissent chaque année.

On modélise cette situation par la suite $ (v_n) $ définie par : $$ \left\{ \begin{array}{l} v_0 = 1\,000 \\ v_{n+1} = 0{,}92v_n + 70 \quad ; \quad n \in \mathbb{N} \end{array} \right. $$ où $ v_n $ est le nombre de cas de tuberculose pour l’année $ 2025 + n $.
  1. Calculer $ v_1 $ et interpréter ce résultat.
  2. Une feuille de calcul permet de visualiser les évolutions :

    Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les valeurs suivantes de la suite $ (v_n) $ ?
  3. À long terme, vers quelle valeur stable semble tendre le nombre de cas ? Justifier par une lecture du tableur.
Une campagne de sensibilisation au don du sang a été lancée dans une région en 2022.

Cette campagne vise à augmenter le nombre de donneurs réguliers inscrits auprès de l’Établissement Français du Sang (EFS).

A. Premier modèle : augmentation linéaire
Chaque année, en moyenne, $500$ nouveaux donneurs rejoignent le fichier régional.
  1. En 2022, il y avait $8\,000$ donneurs réguliers inscrits. Calculer le nombre prévu en 2023 puis en 2024.
  2. On modélise le nombre de donneurs par une suite $ (u_n) $, avec $ u_n $ le nombre de donneurs pour l’année $ 2022 + n $. On a $ u_0 = 8\,000 $.
    1. Quelle est la nature de cette suite ? Quelle est sa raison ? Son sens de variation ?
    2. Exprimer $ u_{n+1} $ en fonction de $ u_n $.
  3. Voici un programme Python qui modélise la situation : u = 8000 for n in range(6): print("Année", 2022 + n, ":", u, "donneurs") u = u + 500
    1. Que fait cet algorithme ?
    2. Modifier l'algorithme pour qu'il affiche le nombre de donneurs prévu en 2030 selon ce modèle ?


B. Deuxième modèle : diminution progressive
Une étude montre qu’en réalité, chaque année $10\,\%$ des donneurs arrêtent de donner pour des raisons diverses (âge, santé, déménagement…).
  1. On modélise cette évolution par une suite $ (v_n) $, avec $ v_0 = 8\,000 $. On suppose que chaque année, le nombre de donneurs diminue de $10\,\%$.
    1. Calculer $ v_1 $ et $ v_2 $.
    2. Quelle est la nature de la suite $ (v_n) $ ? Quelle est sa raison ?
    3. Exprimer $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_n $.
  2. Voici un programme Python associé : v = 8000 for n in range(6): print("Année", 2022 + n, ":", round(v), "donneurs") v = 0.9 * v
    1. Quel est le rôle de la fonction round(v) ?
    2. Modifier l'algorithme pour qu'il affiche le nombre de donneurs prévu en 2030 selon ce modèle ?


C. Troisième modèle : perte partielle et nouveaux donneurs

On suppose que chaque année : On modélise cette évolution par la suite $ (w_n) $, avec : $$ \left\{ \begin{array}{l} w_0 = 8\,000 \\ w_{n+1} = 0{,}9 w_n + 500 \end{array} \right. $$
  1. Calculer $ w_1 $ et $ w_2 $ (arrondis à l’unité).
  2. Voici l’algorithme Python associé : w = 8000 for n in range(6): print("Année", 2022 + n, ":", round(w), "donneurs") w = 0.9 * w + 500
    1. Que modélise cet algorithme ?
    2. Modifier l'algorithme pour qu'il affiche le nombre de donneurs prévu en 2030 selon ce modèle ?
  3. À long terme, quel modèle semble le plus cohérent avec une situation réelle ?