Dérivation Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+1$.

1. Calculer le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2,01$.
   Expliquer pourquoi le résultat est proche $12$.
2. Dire ce que calcule l'algorithme ci-dessous.
def f(x): return x**3+1 def df(x): y = x+10**(-9) return (f(y)-f(x))/(y-x) print(df(2)) print(df(-3))

On a tracé dans le repère ci-dessous courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ et deux de ses tangentes $(AB)$ et ($CD)$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont à coordonnées entières.

1. Déterminer à l'aide du graphique : $f(-1)$, $f'(-1)$, $f(0)$ et $f'(0)$.
2. Donner les équations réduites de $(AB)$ et $(CD)$.

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1. $f(x)=2x-3$
2. $g(x)=-7x+13$
3. $h(x)=x^2-5x+1$
4. $i(x)=-0,5x^2+x-7$
5. $j(x)=(x+3)(3x-4)$
6. $k(x)=x^3-9x^2+9$
7. $\ell(x)=-4x^3+\dfrac{1}{4}x^2+x+10$
8. $m(x)=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2+13x+1\,993$0
9. $n(x)=x^2(1-2x)$
10. $o(x)=x(3x+4)^2$
11. $p(x)=100x(3x+4)^2$

Soit $h$ la fonction définie pour tout $t\in[5\,;\,30]$ par $h(t)=0,1t^2-2t+1$.

1. Déterminer $h'(t)$.
2. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $[5\,;\,30]$.
3. Pour quelles valeurs de $t$ le maximum et le minimum de $h$ sont-ils atteints sur $[5\,;\,30]$ ?

Soit $g$ la fonction définie pour tout $x\in[-10\,;\,10]$ par $g(x)=0,5(x-3)(x+4)$.

1. Trouver les racines de $g$.
2. Déterminer $g'(x)$.
3. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-10\,;\,10]$.
4. Pour quelles valeurs de $x$ le maximum et le minimum de $g$ sont-ils atteints sur $[-10\,;\,10]$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;10]$ par $f(x)=x^3-6x^2-36x+10$.

1. Déterminer pour tout $x\in[0\,;10]$ l'expression de $f'(x)$.
2. Montrer que $f'(x)=3(x-6)(x+2)$.
3. Dresser alors le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;10]$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-2\,;5]$ par $f(x)=-x^3-0,2x^2+1,6x-4$.

1. Montrer que : $f'(x)=0,2(2-3x)(5x+4)$.
2. Montrer que $f'(x)=3(x-6)(x+2)$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2\,;5]$.
4. Peut-on affirmer que $f\left( \dfrac{2}{3} \right)$ est le maximum de $f$ sur $[-2\,;5]$.

Un laboratoire produit un médicament. On note $x$ le nombre de centaines de boîtes produites par mois, avec $x\in[0\,;\,40]$.
Le coût total de production mensuel (en milliers d’euros) est donné par : $$C(x)=0,04x^3-2,4x^2+21,2x+50.$$ Chaque boîte est vendue $12$ €.

1. Lorsque $x=20$, combien de boîtes sont-elles produites ?
2. Donner la recette pour $3\,000$ boîtes vendues, puis le coût correspondant. Quel est alors le bénéfice réalisé par le laboratoire ?
3. On note $R(x)$ la recette réalisée pour une production de $x$ milliers de boîtes.
   Expliquer pourquoi $R(x)=1,2x$.
4. Justifier alors que le bénéfice réalisé pour un production de $x$ milliers de boîtes est : $$B(x)=-0,04x^3+2,4x^2-21x-50.$$
5. Montrer que $B'(x)=-0,12(x-5)(x-35)$.
6. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;\,40]$.
7. Déterminer le nombre de boîtes à produire chaque mois pour que le bénéfice soit maximal et donner alors la valeur du bénéfice maximal.