Probabilités Un restaurant propose dans son menu trois formules : Les effectifs sont répertoriés dans le tableau ci-dessous.
Formule A Formule B Formule C Total
Déjeuner 27 75
Dîner 53 85
Total 39 51 160
On choisit la fiche d'un client au hasard et on définit les évènements suivants :
  1. Compléter le tableau.
  2. Calculer $P(A)$ et $P(S)$. Interpréter les résultats.
  3. Définir par une phrase l'évènement $\overline{A}$ puis calculer $P(\overline{A})$.
  4. Calculer $P(A\cap S)$ et interpréter le résultat.
  5. Calculer $P(A\cup S)$ et interpréter le résultat.
  6. Calculer $P_S(A)$ et interpréter le résultat.
  7. Calculer $P_A(S)$ et interpréter le résultat.
  8. Calculer $\dfrac{P(A\cap S)}{P(S)}$. Que remarque-t-on ?
On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois à la suite et on compte combien de fois on obtient pile parmi ces quatre lancers.
On note $X$ le nombre de piles obtenu. Ainsi, $X$ peut valoir $0$ si aucun pile n'a été obtenu sur les quatre lancers. Mais on peut avoir également $X=1$, si parmi les quatre lancers un seul pile est obtenu. Et de même $X=2$ si obtient deux piles, $X=3$ pour trois piles et $X=4$ pour quatre piles.
  1. Compléter l'arbre ci-dessous qui représente l'ensemble des possibilités de cette expérience aléatoire et donne au bout de chacune de ses branches le nombres de piles obtenus.
    2. Xmin = 0 Xmax = 10 Ymin = -10 Ymax = 10 function arbre(x,y,pasX, pasY){ segment([x,y],[x+pasX,y+pasY]) segment([x,y],[x+pasX,y-pasY]) } n = 4 pasX = (Xmax-1-Xmin)/n pasY = (Ymax-Ymin)/Math.pow(2,n+2) eps = 0.5 arbre(0,0,pasX-eps,Math.pow(2,n)*pasY) for(k = 1; k < n ; k++){ h = Math.pow(2,n+1-k)*pasY for(l = 0 ; l < Math.pow(2,k-1) ; l++){ arbre(k*pasX,h+2*l*h,pasX-eps,h/2) arbre(k*pasX,-h-2*l*h,pasX-eps,h/2) } } texte("P",[1.9,4.7]) texte("F",[1.9,-5.2]) texte("F",[4.15,2.3]) texte("F",[6.4,1.0]) texte("P",[8.6,1.6]) texte("X=...",[9.0,9.2]) texte("X=...",[9.0,8.0]) texte("X=...",[9.0,6.7]) texte("X=...",[9.0,5.5]) texte("X=...",[9.0,4.2]) texte("X=...",[9.0,3.0]) texte("X=2",[9.0,1.7]) texte("X=...",[9.0,0.4]) texte("X=...",[9.0,-0.8]) texte("X=...",[9.0,-2.2]) texte("X=...",[9.0,-3.4]) texte("X=...",[9.0,-4.7]) texte("X=...",[9.0,-5.8]) texte("X=...",[9.0,-7.2]) texte("X=...",[9.0,-8.4]) texte("X=...",[9.0,-9.8])
  2. Déterminer la probabilité de l'évènement « n'obtenir aucun pile », c'est-à-dire la valeur de $P(X=0)$.
  3. Compléter le tableau ci-dessous :
    $k$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
    $P(X=k)$ $\dfrac{1}{16}$
  4. Calculer $P(X \geq 3)$ et $P(X > 0)$.
  5. Au premier lancer on obtient pile. Quelle est alors la probabilité d'obtenir au final $4$ piles.
On tire une boule dans une urne qui contient $10$ boules bleues numérotées de $0$ à $9$ et $5$ boules blanches numérotées de $1$ à $5$.
On note $B$ l'évènement « la boule tirée est bleue » et $D$ l'évènement « la boule tirée porte un numéro pair ».
  1. Calculer $P(B)$ et $P(D)$.
  2. Calculer $P(B\cap D)$ et $P(B\cup D)$.
  3. Une personne tire une boule et annonce que le numéro qu'elle porte est pair. Quelle est la probabilité qu'elle soit bleue ?
  4. Une autre personne tire une boule et annonce qu'elle est blanche. Quelle est la probabilité qu'elle porte un numéro pair ?
De juillet à novembre 2020, $43\,448$ personnes ont participé à un test pour un vaccin contre le Covid-19. Parmi celles-ci $21\,720$ ont reçu le vaccin et les autres un placebo.
Durant le temps de l'étude, parmi les personnes vaccinées, $8$ ont été contaminées au Covi-19 alors qu'elles étaient au nombre de $162$ dans le groupe ayant reçu le placebo.
Dans ce groupe de personnes contaminées, une seule a développé une forme sévère parmi les vaccinées alors que $9$ l'ont été dans le groupe ayant reçu le placebo.
On choisit au hasard une personne de cette étude et on définit les évènements suivants : Pour les questions qui suivent les résultats seront donnés à $10^{-6}$ près.
  1. Déterminer $P(V)$ et $P(\overline{V})$.
  2. Calculer $P_V(C)$ et $P_V(G)$. Interpréter les résultats.
  3. Une personne ayant participé à l'étude affirme avoir été contaminée au Covid-19 en novembre 2020.
    Quelle est la probabilité que cette personne ait été vaccinée ?
Une intelligence artificielle a été programmée pour détecter des chats sur des images.
On la teste sur un échantillon de $3\,000$ images qu'elle n'a pas encore traitées.
L'image contient un chat L'image ne contient pas de chat Total
L'IA détecte un chat $1\,403$
L'IA ne détecte pas de chat $1\,457$
Total $1\,500$ $1\,500$
On choisit une image au hasard dans le lot testé et on note $C$ l'évènement « L'image contient un chat » et $D$ « L'IA détecte un chat ».
  1. Compléter le tableau.
  2. Déterminer la sensibilité de cette IA, à savoir, $P(C\cap D)+P(\overline{C}\cap \overline{D})$.
  3. Donner la probabilité d'obtenir un faux positif $P_{\overline{C}}(D)$.
  4. Déterminer l'efficacité de cette IA, à savoir la probabilité de détecter un chat sachant que l'image en contient un.
  5. Déterminer le taux de prédiction de cette IA, à savoir la probabilité de ne pas détecter un chat sachant que l'image n'en contient pas.