Étude de fonctions (2) Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
  1. $x^3 = 27$
  2. $-x^3 = 2$
  3. $4t^3 = 50$
  4. $x^5-x^2 = 0$
Soient $P$, $Q$ $R$ et $S$ des polynômes de degré $3$ définis pour tout réel $x$ par :
$P(x)=x^3-2$ 1 ; 1 $Q(x)=x^3+3$ 1 ; 1 $R(x)=x(x-1)(x+2)$ 1 ; 1 $S(x)=-x(x-1)(x+2)$
On a représenté les trois polynômes dans le repère ci-dessous.
  1. Identifier, en justifiant, la courbe associée à chaque polynôme.
  2. Dresser les tableaux de signes de chaque polynôme $P$, $Q$, $R$ et $S$.
Soit $f$ le polynôme de degré $3$ défini pour tout réel $x$ par : $$f(x)=x^3+3x^2-6x-8.$$
  1. Trouver parmi les nombres suivants ceux qui sont des racines de $f$ : $0$ ; $1$ ; $-1$ ; $2$ ; $-2$ ; $-4$.
  2. En déduire la forme factorisée de $f$ puis son tableau de signes.
Dresser les tableaux de signes des polynômes ci-dessous :
  1. $f(x)=-2(x+1)(x-5)(x-3)$.
  2. $g(x)=-(x+3)(x-5)$.
  3. $h(x)=5(x-2)(x-7)(x+9)$.
Une usine produit des téléviseurs qui sont vendus $1\,500$ € l'unité.
On estime que, pour une production journalière de $x$ téléviseurs comprise entre $0$ et $120$, le coût, en €, s'élève à : $c(x)=25x^2-0,1x^3$.
On note $r(x)$ et $b(x)$ la recette et le bénéfice associés à une production de $x$ téléviseurs.
  1. Justifier que $r(x)=1\,500x$.
  2. Montrer que $b(x)=0,1x^3-25x^2+1\,500x$.
  3. Démontrer que : $b(x)=0,1x(x-100)(x-150)$.
  4. Dresser le tableau de signes de $b(x)$ et interpréter le résultat.
  5. On admet que la fonction $b$ ne change de sens de variations qu'une seule fois sur l'intervalle $[0\,;\,120]$.
    Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il permette d'afficher la production associée à un bénéfice maximal.
    6. def b(x): return ... max = b(0) x = 1 while b(x) > max: max = b(x) x = x+1 print(...)
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-2x+7$.
  1. Déterminer le taux de variation de $f$ entre $4$ et $5$.
  2. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels $a < b$. Justifier que le taux de variations de $f$ entre $a$ et $b$ est constant.
  3. Cette fonction $f$ est-elle la seule à avoir cette propriété d'un taux de variation constant ?
Soit $h$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{1}{x}$.
  1. Calculer, sous la forme d'une fraction irréductile, le taux de variation de $h$ entre $3$ et $5$.
  2. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs tels que $a < b$.
    1. Démontrer que le taux de variation de $h$ entre $a$ et $b$ est à égale à $-\dfrac{1}{ab}$.
    2. En déduire le sens de variation de $h$ sur $]0\,;\,+\infty[$.