Suites numériques (1) Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $u_n=0,3n^2+n-4$.
  1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$
  2. Construire le nuage de points de la suite $(u_n)$ dans le repère ci-dessous.
  3. Existe-t-il un entier $n$ tel que $u_n > 10^9$ ?
  4. Quelle propriété des polynômes de degré $2$ peut être utilisée ici pour déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $v_n=-1,7n+8$.
  1. Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
  2. Montrer que pour tout entier $n$, $v_{n+1} = -1,7n+6,3$.
  3. En déduire le sens de variation de $(v_n)$.
Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_0=4$ et pour tout entier $n$ : $$w_{n+1}=1,2w_n+1$$
  1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  2. Expliquer pourquoi, pour tout entier $n$, $w_n$ est toujours un nombre positif.
  3. Montrer que pour tout entier $n$, $w_{n+1}-w_n=2,2w_n+1$
  4. En déduire alors le sens de variation de la suite $(w_n)$.
  5. Après exécution, l'algorithme ci-dessous affiche $26$. Que représente ce nombre pour la suite suite $(w_n)$ ?
    6. w = 4 n = 0 while w < 1000: w = 1.2*w+1 n = n+1 print(n)
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.
  1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  2. Donner sous forme d'une fraction irréductible la valeur de $u_1-u_0$, puis de $u_2-u_1$ et de $u_3-u_2$.
  3. Pour tout entier $n$, montrer que $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.
  4. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
  5. Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'après exécution la fonction seuil retourne le rang du premier terme de la suite $(u_n)$ inférieur à $10^{-6}$.
    6. def seuil(): n = 0 u = 1 while u ......: n = n+1 u = 1/(n+1) return n
« En 2017, les français ont en moyenne produit $513$ kg de déchets ménagers par habitant. » Source site internet planetescope .
En 2024, le maire d'une commune obtient $530$ kg de déchets ménagers en moyenne par habitant.
L'objectif du maire est de réduire la production de déchets de $1,7\,\%$ par an pendant 5 ans, en espérant atteindre la moyenne nationale de 2017.
On modélise la situation par la suite $(d_n)$ où $d_n$ représente pour tout entier naturel $n$ la quantité en kg de déchets ménagers moyenne produite par habitant de cette ville durant l'année $2024 + n$.
  1. Justifier que $d_0 = 530$ et que pour tout entier naturel $n$ on a : $d_{n + 1} = 0,983 d_n$.
  2. Le tableur ci-dessous nous donne les premières valeurs de la suite et permet de les représenter graphiquement:
    1. Quelle formule destinée à être recopiée vers le bas, peut-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir les valeurs de la suite $(d_n)$ ?
    2. Quelle devrait être à ce rythme-là, la production en kilogramme de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2026 ? En 2030 ?
      La campagne de sensibilisation du maire a-t-il permis au maire d'atteindre son objectif ?
  3. Le maire souhaite maintenant atteindre la moyenne européenne de 2017 qui était de $487$ kg de déchets ménagers par habitant.
    1. Compléter l'algorithme ci-dessous permettant d'obtenir l'année à partir de laquelle l'objectif du maire sera atteint.

      n = 0 d = 530 while d > ... : n = ... d = ... print(n)
    2. En quelle année l'objectif du maire est-il atteint ?