Étude de fonctions (1) Soient $f$ et $g$ deux fonctions dont les représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données ci-dessous.
  1. Lire graphiquement :
    1. L'image de $1$ par $f$.
    2. Les antécédents de $4$ par $g$.
    3. $f(3)$
    4. $g(3)$
  2. À l'aide du graphique, établir :
    1. Le tableau de signes de $f$ sur $[0\,;3]$.
    2. Le tableau de signe de $g$ sur $[0\,;4]$.
  3. Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes :
    1. $f(x)=1$.
    2. $f(x)=g(x)$.
    3. $f(x)\leq 0$.
    4. $g(x)>f(x)$.
Soit $f$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x-4$.
Soit $g$ la fonction affine dont la représentation graphique dans un repère du plan passe par les points $A(0\,;2)$ et $B(4\,;-2)$.
  1. Déterminer l'image de $-6$ par $f$.
  2. Calculer $f(2)$. Le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible.
  3. Dresser le tableau de signes de $f$.
  4. Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine $g$.
  5. Construire dans le repère ci-dessous les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$.
  6. Déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection entre les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
  7. En déduire les positions relatives entre les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
Résoudre les équations suivantes :
  1. $3(x-3)(2x+1)=0$
  2. $x^2=2$
  3. $x^2=-2$
  4. $x^3=-2$
  5. $x^4-3x=0$
  6. $8x^2=x$
Soient $P$, $Q$ et $R$ les polynômes définis pour tous réels $x$ par :
$P(x)=(x-1)(x+1)$ 1 ; 1 $Q(x)=(x+2)(x-3)$ 1 ; 1 $R(x)=-(x+2)(x-3)$.
On a représenté les trois polynômes dans le repère ci-dessous.
  1. Identifier, en justifiant, la courbe associée à chaque polynôme.
  2. Dresser les tableaux de signes de chaque polynôme $P$, $Q$ et $R$.
Soit $f$ la fonction polynôme de degré $2$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=3x^2-18x+48.$$
  1. Parmi les nombres $-8$ ; $0$ ; $2$ et $8$, lesquels sont des racines de $f$ ?
  2. Factoriser $f(x)$ et dresser son tableau de signes.
Soit $p$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $p(x)=3x^2-x-4$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
  1. La courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle un axe de symétrie ? Si oui, donner son équation.
  2. Dresser le tableau de variation de $p$.
  3. Montrer que pour tout réel $x$ : $p(x)=(3x-4)(x+1)$.
  4. En déduire le signe de $p$ sur $\mathbb{R}$.
Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $t$ par $g(t)=-10t^2-52t-10$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
  1. La courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle un axe de symétrie ? Si oui, donner son équation.
  2. Dresser le tableau de variation de $g$.
  3. Montrer que pour tout réel $t$ : $g(t)=-2(t+5)(5t+1)$.
  4. En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = -4x^2+24x-21$.
  1. Calculer l'image de 0 et de 3 par la fonction $f$.
  2. Montrer que, pour tout réel $x$, on a : $f(x)=(-2x +11 )(2x-1)$.
  3. En déduire les antécédents de 0 par la fonction $f$.
  4. Montrer que pour tout réel $x$, on a : $f(x) = 25-4(x-3)^2$.
  5. Est-il possible de trouver un réel $x$, tel que $f(x) > 25$ ? Justifier.
  6. Réaliser un schéma donnant l'allure la courbe de la fonction $f$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions 1., 3. et 5.
Une entreprise commercialise des chocolats. La production hebdomadaire maximale est de $30\,000$ chocolats. On suppose que la totalité de la production hebdomadaire est vendue chaque semaine.
Les charges de production, en euro, pour $x$ milliers de chocolats vendus sont modélisées par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0;30]$ par $$C(x) = 4x^2 + 4x + 520.$$ L'entreprise fixe le prix de vente d'un chocolat à $0,128$ euros.
Pour la vente de $x$ milliers de chocolats, on note $R(x)$ le chiffre d'affaires en euro.
$\mathcal{C}_R$ et $\mathcal{C}_C$ désignent les courbes représentatives de $R$ et $C$ dans le repère ci-dessous :
Le résultat réalisé pour $x$ milliers de chocolats vendus est donné par la fonction $B$, définie pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0;30] par : $B(x) = R(x) - C(x)$. la réponse au problème.
  1. Calculer $C(1)$. Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
  2. Calculer $R(1)$ et en déduire $B(1)$. Interpréter le résultat?
  3. Expliquer pourquoi, pour $x$ milliers de chocolats vendus on a $R(x) = 128x$.
  4. Montrer que $B(x) = -4x^2 +124x - 520$.
  5. Montrer que $B(x) = -4(x - 5)(x - 26)$.
  6. En déduire le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0~;~30]$.
  7. À l'aide des questions précédentes déterminer les quantités de chocolats à produire permettant d'obtenir un résultat positif.
  8. Quelle est la quantité de chocolats à produire pour maximiser le résultat hebdomadaire ?
    On précisera la valeur de ce résultat maximal en euro.