Variables aléatoires Introduction Dans la roue ci-dessous, tous les secteurs ont exactement la même forme. Nous sommes donc en présence d'une situation d'équiprobabilité.
Lancers0
Gain total0 €
Gain moyen0 €

Fréquences des gains

Gain -10 € -2 € +20 €
Fréquence 0 0 0
En lançant un grand nombre de fois la roue, de quelles valeurs semblent se rapprocher les fréquences du dernier tableau ? Les fréquences semblent se rapprocher des probabilités associées à chaque gain.
En effet la probabilité de gagner $20$ € est : $\dfrac{1}{5}$ $=$ $0,2$.
Celle de perdre $2$ € : $\dfrac{3}{5}$ $=$ $0,6$.
Celle de perdre $10$ € : $\dfrac{1}{5}$ $=$ $0,2$. Dans cette situation on peut dire que le gain est une variable aléatoire finie : aléatoire car on ne sait pas quelle valeur il prendra avant l'expérience, et finie car il ne peut prendre que trois valeurs distinctes. Variables aléatoires
Soit $\Omega$ un univers associé à une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
$X$ est discrète et finie si elle prend un nombre fini de valeurs $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$. Dans l'exemple de l'introduction on peut définir une variable aléatoire $G$ représentant le gain d'un joueur après une partie.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète finie $X$ est la fonction qui à chaque valeur $x_i$ prise par $X$ associe le nombre $p_i$ $=$ $P(X=x_i)$.
On peut résumer cela dans un tableau :
$X$ $x_1$ $x_2$ $\dots$ $x_n$
$P(X=x_i)$ $p_1$ $p_2$ $\dots$ $p_n$
La loi de probabilité de la variable aléatoire $G$ associé au gain dans l'expérience de la roue précédente est :
$G$ $-10$ $-2$ $20$
$P(X=x_i)$ $\dfrac{1}{5}$ $\dfrac{3}{5}$ $\dfrac{1}{5}$

Soit $X$ une variable aléatoire prenant $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$.
L'espérance de $X$, notée $\text{E}(X)$, est la moyenne arithmétique des valeurs $x_i$ pondérées par leur probabilité $p_i$ $=$ $P(X=x_i)$. On a :
$\text{E}(X)$ $=$ $x_1\times p_1$ $+$ $x_2\times p_2$ $+$ $\cdots$ $+$ $x_n\times p_n$. On peut noter de manière raccourcie : $\text{E}(X)$ $=$ $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_ip_i}$. Toujours dans l'expérience de la roue précédente, on trouve, en lisant le tableau représentant la loi de probabilité de $G$ :
$\text{E}(G)$ $=$ $\dfrac{1}{5}\times(-10)+\dfrac{3}{5}\times(-2)+\dfrac{1}{5}\times 20$ $=$ $0,80$.
On remarque que ce résultat est proche du gain moyen du simulateur et ça confirme qu'il est intéressant de jouer à ce jeu ar en moyenne, par partie, on gagne $0,80$ €.
L'évènement $\{ X \leq a \}$ est la réunion de tous les évènements élémentaires $\{ X=x_i \}$ avec $x_i\leq a$. Dans l'exemple de la roue $\{ X \leq 0 \}$ $=$ $\{ X=-10 \}$ $\cup$ $\{ X=-2 \}$. On définit de manière analogue les évènements $\{ X < a \}$, $\{ X \geq a \}$ et $\{ X > a \}$.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, avec $p\in[0\,;\,1]$, est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée « succès », qui a pour probabilité $p$, et l'autre appelée « échec », qui a pour probabilité $1-p$. On possède une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d'obtenir pile est de $0,8$. Le fait de lancer cette pièce de monnaie et de regarder si on obtient pile ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,8$.
Soit $X$ une variable aléatoire associée à une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in[0\,;\,1]$ qui vaut $0$ en cas d'échec et $1$ en cas de succès.
La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :
$X$ $0$ $1$
$P(X=x_i)$ $1-p$ $p$
L'espérance de $X$ vaut : $\text{E}(X)$ $=$ $p$. On peut illustrer la variable aléatoire de la propriété précédente à l'aide d'un arbre de pondéré :
Pour la pièce de monnaie truquée déjà évoquée on a :
$X$ $0$ $1$
$P(X=x_i)$ $0,2$ $0,8$
On peut alors calculer : $\text{E}(X)$ $=$ $0,2\times0+0,8\times 1$ $=$ $0,8$. Répétition d'épreuves aléatoires Généralités On réalise plusieurs épreuves aléatoires les unes à la suite des autres.
L'arbre de probabilité associé à cette répétition d'épreuves est constitué d'une première série de branches correspondant à la première épreuves, puis d'une deuxième série correpondant à la deuxième épreuve etc.
On indique sur chacune des branches la probabilité de l'issue correspondante. Si on lance deux fois la pièce de monnaie truquée précédente on a l'arbre ci-dessous :

Dans l'arbre précédent nous sommes dans unes situation d'indépendance car les probabilités des deuxièmes branches ne dépendent pas de la première série de branches.
On dénombre quatre chemins : $PP$ ; $PF$ ; $FP$ et $FF$. Une urne contient $5$ boules indiscernables au toucher : $3$ blanches et $2$ rouges.
On effectue un premier tirage. On note la couleur de la boule obtenue, on ne remet pas la boule dans l'urne et on effectue un deuxième tirage. On note à nouveau la couleur de la deuxième boule tirée.
On note $B_1$ l'évènement : « la première boule tirée est blanche »,
et : $B_2$ l'évènement : « la deuxième boule tirée est blanche »,
L'arbre de probabilité associée à cette situation est :
Les épreuves ne sont pas indépendantes car la probabilité d'obtenir une boule blanche ou rouge au deuxième tirage n'est pas la même en fonction du premier tirage.
La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités indiquées sur les branches qui le constituent. $P(B_1\cap B_2)$ $=$ $0,6\times0,5$ $=$ $0,30$.

$P(B_1\cap \overline{B_2})$ $=$ $0,6\times0,5$ $=$ $0,30$.

$P(\overline{B_1}\cap B_2)$ $=$ $0,4\times0,75$ $=$ $0,30$.

$P(\overline{B_1}\cap \overline{B_2})$ $=$ $0,4\times0,25$ $=$ $0,10$.

On remarque que $P(B_1\cap B_2)+P(B_1\cap \overline{B_2})+P(\overline{B_1}\cap B_2)+P(\overline{B_1}\cap \overline{B_2})$ $=$ $1$. Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p\in[0\,;\,1]$. On lance un dé équilibré et on note $G$ l'évènement « obtenir la face $6$ ».
L'arbre ci-dessous illustre le schéma de Bernoulli de paramètres $2$ et $\dfrac{1}{6}$ associé à deux lancers successifs de ce dé.
En notant $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de faces $6$ obtenu après les deux lancers, on obtient les résultats suivants : La loi de probabilité de $X$ est alors :
$k$ $0$ $1$ $2$
$P(X=k)$ $\dfrac{25}{36}$ $\dfrac{5}{18}$ $\dfrac{1}{36}$
On vérifie bien que la somme des probabilités est égale à $1$.

On peut déterminer également l'espérance de $X$ :

$\text{E}(X)$ $=$ $\dfrac{25}{36}\times0+\dfrac{5}{18}\times1+\dfrac{1}{36}\times2$ $=$ $\dfrac{6}{18}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$. Lorsqu'on lance $100$ fois la pièce de monnaie truquée précédente et que l'on s'intéresse au nombre de piles obtenu, on est en présence d'un schéma de Bernoulli de paramètres $100$ et $0,8$.
L'algorithme Python ci-dessous permet de compter le nombre de piles que l'on obtient lorsqu'on lance $100$ fois cette pièce truquée. from random import* nb_piles = 0 for i in range(0,100): m = random() if m < 0.8: nb_piles = nb_piles +1 print(nb_piles) On remarque que les résultats semblent fluctuer autour de $80$.

Le graphique ci-dessous est une simulation de $1_,000$ de répétitions de l'algorithme précédent. En abscisse on a le nombre de piles obtenus sur $100$ lancers de pièces et en ordonnées on note combien de fois on a obtenu ce résultat sur les $1\,000$ répétitions de l'expérience.

On remarque que les résultats les plus fréquents sont situés autour de $80$.