Suites numériques (2)
Introduction
Une personne possède un capital de $20\,000$ €. Elle hésite entre deux situations :
Mettre les $20\,000$ € dans un coffre-fort et ajouter $500$ € à la fin de chaque année ;
Déposer les $20\,000$ € sur un compte en banque au taux de $1,5$ % (intérêts composés annuels).
On note $(c_n)$ la suite modélisant la première situation, et $(b_n)$ la deuxième, avec $n$ le nombre d'années passé depuis le dépot initial.
Par exemple $c_0$ $=$ $b_0$$=$$20\,000$.
Déterminer $c_1$ et $b_1$.
Situation « coffre-fort » :
À la fin de la première année on a ajouté $500$ € donc $c_1 = $ $c_0+500$$=$$20\,500$.
Situation « compte en banque » :
Le capital initial est ici augmenté de $1,5$ % donc multiplié par $1,015$ (coefficient multiplicateur), ainsi :
$b_1 = $ $b_0\times 1,015$$=$$20\,300$ €.
Déterminer $c_2$ et $b_2$, puis $c_{10}$ et $b_{10}$.
Situation « compte en banque » :
Le capital $b_1$ est augmenté de $1,5$ % donc
$b_2 = $ $b_1\times 1,015$$=$$20\,604,50$ €.
Pour déterminer $c_{10}$ et $b_{10}$ on doit calculer de manière successive tous les montants intermédiaires, par exemple dans le tableur ci-dessous.
Saisir les valeurs de $20\,000$ dans les cellules A1 et B1.
Saisir dans la cellule A2 la formule : « = A1+500 », puis tirer vers le bas jusqu'à A11.
Saisir dans la cellule B2 la formule : « = B1*1.015 », puis tirer vers le bas jusqu'à B11.
On trouve alors que $c_{10} = $ $25\,000$ et $b_{10} \approx$ $23\,210,82$.
Suites arithmétiques
Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison (noté généralement $r$), soit si, pour tout entier $n$ :
$u_{n+1}$$=$$u_n+r$.
La suite $(c_n)$ de l'introduction est une suite arithmétique de raison $500$.
On a, pour tout entier $n$ : $c_{n+1}$$=$$c_n+50$.
Dans le nuage de points représentants les premièrs termes de la suite, on remarque que les points sont alignés.
Une suite arithmétique dont la raison est positive est croisannte.
Une suite arithmétique dont la raison est négative est décroisante.
Lorsqu'un phénomène peut être modélisé à l'aide d'une suite arithmétique (croissante ou décroissante), on parle de croissancelinéaire.
Suites géométriques
Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison (noté généralement $q$), soit si, pour tout entier $n$ :
$u_{n+1}$$=$$q\times u_n$.
La suite $(b_n)$ de l'introduction est une suite géométrique de raison $1,015$.
On a, pour tout entier $n$ : $b_{n+1}$$=$$1,015b_n$.
Dans le nuage de points représentants les premièrs termes de la suite, on remarque que les points ne sont pas ici alignés.
Une suite géométrique de premier terme positif dont la raison est supérieureà $1$ est croisannte.
Une suite géométrique de premier terme positif dont la raison est compriseentre$0$ età $1$ est décroisannte.
Lorsqu'un phénomène peut être modélisé à l'aide d'une suite géométrique (croissante ou décroissante), on parle de croissanceexponentielle.