Dérivation Introduction Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
  1. Quel est le taux de variation de $f$ entre $3$ et $5$ ?
    2. Ce taux vaut : $\dfrac{f(5)-f(3)}{5-3}$ $=$ $\dfrac{5^2-3^2}{2}$ $=$ $\dfrac{25-9}{2}$ $=$ $8$.
  2. Déterminer le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3,1$ ?
    3. $\dfrac{f(3,1)-f(3)}{3,1-3}$ $=$ $\dfrac{3,1^2-3^2}{0,1}$ $=$ $6,1$.
  3. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $3$ et $x$ est égale à $x+3$.
    4. $\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}$ $=$ $\dfrac{x^2-3^2}{x-3}$ $=$ $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}$ $=$ $x+3$.

    On remarque que si on remplace $x$ par $5$ ou $3,1$ ou obtient les résultats aux questions précédentes.
    Par exemple, si on remplace $x$ par $3,01$ on trouve que le taux vaut $6,01$ et si on remplace $x$ par $2,999$, le taux vaut $5,999$.
    Ainsi, si $x$ est proche de $3$, le taux de variation entre $3$ et $x$ est proche de $6$.
  4. Pour tout réel $a$, montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $x$ est égale à $x+a$.
    5. $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ $=$ $\dfrac{x^2-a^2}{x-3}$ $=$ $\dfrac{(x-a)(x+a)}{x-a}$ $=$ $x+a$.

    On remarque ici que si $x$ est proche de $a$, alors le taux de variation entre $x$ et $a$ est proche de $a+a$ $=$ $2a$.

    On peut écrire dans cette situation : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$ $=$ $2a$.
Dans le repère ci-dessous, lorsque $x$ se rapproche de $a$, la sécante $(AB)$ se rapproche d'une tangente dont le coefficient directeur $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ vaut $2a$.
Définitions
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ et $x$ deux nombres de $I$.
Si lorsque $x$ tend vers $a$, avec $x\neq a$, le taux de variation $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers un nombre, ce dernier s'appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.
On dit que $f$ est dérivable en $x=a$ et on écrit : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ $=$ $f'(a)$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x+1$.
Pour tous réels $a$ et $x$, avec $x\neq a$, on a :

$\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}$ $=$ $\dfrac{3x+1-(3a+1)}{x-a}$ $=$ $\dfrac{3x-3a}{x-a}$ $=$ $\dfrac{3(x-a)}{x-a}$ $=$ $3$.

Ainsi, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}$ $=$ $3$ et donc $g'(a)$ $=$ $3$.
Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle $I$, si elle est dérivable en tout nombre $a$ de $I$.
On définit alors sur $I$ la fonction dérivée de $f$, noté $f'$, qui à tout $x\in I$ associe le nombre dérivée $f'(x)$. Pour $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, on a $f'(x)$ $=$ $2x$.
Pour $g$ la fonction définie $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x+1$, on a $g'(x)$ $=$ $3$. Propriétés
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $a\in I$.
Le nombre $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe représentative de $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$.
L'équation réduite de $T$ est : $y$ $=$ $f'(a)(x-a)+f(a)$. Dans le graphique ci-dessous, en déplaçant le point $A$ on peut observer les diverses tangentes à la courbe tracée.
Déplacer le point $A$ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
On a $f'(x)=$ $2x$, donc l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d''abscisse $5$ est :
$y$ $=$ $f'(5)(x-5)+f(5)$
ssi $y$ $=$ $10(x-5)+25$
ssi $y$ $=$ $10x-25$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Pour la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, on a $f'(x)$ $=$ $2x$.

Donc si $x \leq 0$, alors $f'(x) \leq 0$, et $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$.

Si $x \geq 0$, alors $f'(x) \geq 0$, et $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$
$x$ $-\infty$ $0$ $+\infty$ $f'(x)$ $-$ 0 $+$ $+\infty$ $+\infty$ $f(x)$ décroissante croissante $0$
On remarque que $f$ présente un minimum en $x=0$ qui est égale à $f(0)$ $=$ $0^2$ $=$ $0$.
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels. On les formules de dérivation suivantes :
$f(x)$ $f'(x)$
$a$ $0$
$x$ $1$
$ax$ $a$
$ax+b$ $a$
$x^2$ $2x$
$ax^2$ $2ax$
$ax^2+bx+c$ $2ax$
$x^3$ $3x^2$
$ax^3+bx^2+cx+d$ $3ax^2+2bx+c$
Déterminer l'expression des dérivées des fonctions $f$, $g$, $h$ et $i$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=-15x+4$ ; $g(x)=4x^2$ ; $h(x)=x^3+13$ ; $i(x)=5x^3-x^2+13x-4$ On applique les formules du tableau précédent.

Pour $f(x)=-15x+4$, on a $f'(x)=$ $-15$.

Pour $g(x)=4x^2$, on a $g'(x)$ $=$ $4\times 2x$ $=$ $8x$.

Pour $h(x)=x^3+13$, on a $h'(x)=$ $3x^2+0$ $=$ $3x^2$.

Pour $i(x)=5x^3-x^2+13x-4$, on a : $i'(x)$ $=$ $5\times3x^2-2x+13-0$ $=$ $15x^2-2x+13$.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Pour tout nombre réel $k$ on a : $(kf(x))'$ $=$ $kf'(x)$. Soit $a$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $a(x)=10\left(6x-x^2\right)$.
La propriété précédente nous dit que pour obtenir $a'(x)$ on peut tout d'abord dériver $\left(6x-x^2\right)$ puis multiplier le résultat par $10$.

$a'(x)=$ $10(6-2x)$ $=$ $60-20x$.

On aurait bien sûr pu distribuer le $10$ dans $a(x)$ puis dériver l'expression obtenue, mais cette propriété permet souvent d'effectuer des calculs moins complexes.