Étude de fonctions (2) Fonctions polynômes de degré 3
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels avec $a\neq0$. La fonction $f$ définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par : $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$$ est un polynôme de degré $3$. Pour le polynôme $f(x)=-x^3+x^2+5$, on a : $a=$ $-1$, $b=$ $1$, $c=$ $0$ et $d=$ $5$.
Soit $f$ un polynôme de degré $3$ tel que $b=c$ $=$ $0$, c'est-à-dire tel que : $$f(x)=ax^3+d,$$ avec $a\neq0$.

Si $a >0$ alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Si $a < 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
Plus $a$ est proche de $0$, plus la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan est resserée autour de l'axe des ordonnées.
La valeur de $d$ donne l'ordonnée du point d'intersection entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des ordonnées.

Déplacer les curseurs pour faire varier $a$ et $d$ et observer les conclusions de la propriété précédente.
La fonction cube $x\mapsto x^3$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, pour tout réel $k$, l'équation $x^3=k$ admet une unique solution, appelée racine cubique de $k$.

On note $k^{\frac{1}{3}}$ ou $\sqrt[3]{k}$ la racine cubique de $k$. On a alors $\left( \sqrt[3]{k} \right)^3$ $=$ $k$. On a $\sqrt[3]{8}$ $=$ $2$, car $2^3$ $=$ $8$.

Ou encore $27^{\frac{1}{3}}$ $=$ $\sqrt[3]{27}$ $=$ $3$, car $3^3 =$ $27$.
Soient $a\neq0$, $x_1$, $x_2$ et $x_3$ des nombres réels (avec $x_1 < x_2 < x_3$), tels que le polynôme de degré $3$ $f$ s'écrive : $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$$

$f$ possède trois racines : $x_1$, $x_2$ et $x_3$.
Si $a > 0$, le tableau de signes de $f$ est :
$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $+\infty$ $f(x)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$ 0 $+$

Si $a < 0$, le tableau de signes de $f$ est :
$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $x_3$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$ 0 $-$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x-3)(x+2)(x+1)$.

Cette fonction possède trois racines : $3$, $-2$ et $-1$.

Comme $a =$ $1$ $> 0$, le tableau de signes de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :

$x$ $-\infty$ $-2$ $-1$ $3$ $+\infty$ $f(x)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$ 0 $+$

Représentation graphique de la fonction $f$ où les parties négatives sont coloriées en bleu et les positives en rouge.

$f(x) > 0$ si et seulement si $x\in$ $]-2\,;-1[\cup]3\,;\,+\infty[$.
$f(x) \geq 0$ si et seulement si $x\in$ $[-2\,;-1]\cup[3\,;\,+\infty[$.
$f(x) < 0$ si et seulement si $x\in$ $]-\infty\,;-2[\cup]-1\,;\,3[$.
$f(x) \leq 0$ si et seulement si $x\in$ $]-\infty\,;-2]\cup[-1\,;\,3]$.

Taux de variation d'une fonction Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b$.
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
Le taux de variation de $f$ entre $1$ et $3$ vaut :
$\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$ $=$ $\dfrac{3^2-1^2}{2}$ $=$ $\dfrac{8}{2}$ $=$ $4$.
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère du plan.
Soient $A(a\,;\,f(a))$ et $B(b\,;\,f(b))$ les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $a$ et $b$, $a\neq b$.
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est égal au coefficient directeur de la sécante $(AB)$.

Si pour tous téels $a$ et $b$ de $I$, tels que $a < b$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est positif alors $f$ est croissante sur $I$.
Si pour tous téels $a$ et $b$ de $I$, tels que $a < b$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est négatif alors $f$ est décroissante sur $I$.

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
Le taux de variations de $f$ entre $a$ et $b$ est égal à :

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ $=$ $\dfrac{b^2-a^2}{b-a}$ $=$ $\dfrac{(b-a)(b+a)}{b-a}$ $=$ $b+a$.

Ainsi, si $a < 0$ et $b < 0$ alors $b+a$ $ < 0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\, 0[$.

Ainsi, si $a \geq 0$ et $b \geq 0$ alors $b+a$ $\geq 0$ et la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\, +\infty[$.