Suites numériques (1)
Introduction
Voici une recette pour calculer des nombres :
Choisir comme premier nombre $2$.
Élever ce nombre au carré, multiplier le résultat par $0,1$ et ajouter $2$.
Répeter les opérations précédentes au résultat trouvé, puis au nouveau résultat etc.
En notant $u_0$ le premier nombre (soit $u_0=2$), déterminer le nombre suivant obtenu par cette recette (on le note $u_1$), puis encore le suivant $u_2$ et enfin $u_3$.
On élève $u_0$ au carré, puis on multiplie par $0,1$ (ce qui donne $0,1\times u_0^2$) et enfin on ajoute $2$, donc $u_1 =$ $0,1u_0^2+2$$=$$0,1\times 2^2+2$$=$ $2,4$.
Pour calculer $u_2$ on réitère les calculs précédents mais à partir de $u_1$, soit :
$u_2=$ $0,1u_1^2+2$$=$$0,1\times(2,4)^2+2$$=$$2,576$.
De même : $u_3 =$ $0,1u_2^2+2$$=$$0,1\times 2,576^2+2$$=$$2,663\,577\,6$.
Existe-t-il un terme de cette suite de nombres qui dépasse $2,75$ ?
On peut continuer à effectuer des calculs comme dans la question précédente. Ou alors on peut se servir de la calculatrice et de sa touche Rep ou Ans.
En effet, cette touche garde en mémoire le résultat précédent et dans notre cas nous avons besoin du résultat précédent pour trouver le suivant.
On tape par exemple :
2 EXE
La valeur $2$ est stockée dans la variable ans
0.1*ans^2+2EXE
La calculatrice remplace ans par $2$ et nous donne bien le résultat de $u_1$.
EXE
La calculatrice répète le dernier calcul, sauf que depuis ans a changé de valeur et vaut $2,4$, soit $u_1$. On obtient donc bien le résultat de $u_2$.
EXE
On obtient ici $u_3$
En prologeant suffisamment cette méthode on voit que $u_7$$\approx$$27,755$ est le premier terme à dépasser $2,75$.
Compléter la ligne n°3 de l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche la valeur de $u_{10}$.
u = 2
for i in range(0,10):
u = u**2
print(u)
La ligne n°3 doit correspondre à la formule de la recette.
u = 2
for i in range(0,10):
u = 0.1*u**2+2
print(u)
Si on veut observer tous les résulats intermédiaire jusqu'à $u_10$ on déplace le print dans la boucle for :
u = 2
for i in range(0,10):
u = 0.1*u**2+2
print(u)Généralités
Une suite numérique $u$ est une fonction dont la variable est un entier naturel.
À la variable $n$ on associe un nombre $u(n)$, noté généralement $u_n$.
On a donc :
$u : n \longmapsto u(n)= u_n$
Le rang d'un terme d'une suite $u$ est la place qu'il occupe dans la suite.
Une suite $u$ est généralement notée $(u_n)$.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2n^2-1$.
On a : $u_0 =$ $2\times0^2-1$$=$$1$ ; $u_1 = $ $2\times 1^2-1$$=$$1$ ; $u_2=$ $2\times 2^2-1$$=$$3$etc.
Le terme de rang $5$ de cette suite est $u_4$$=$$2\times4^2-1$$=$$31$.
Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}$ est le terme qui suit $u_n$.
Il ne faut pas confondre $u_n+1$ et $u_{n+1}$ ! Par exemple $u_2+1$ est la valeur de $u_2$ à qui on ajoute $1$, alors que $u_{2+1}$ $=$ $u_3$.
Pour tout entier naturel $n\geq1$, $u_{n-1}$ est le terme qui précéde $u_n$.
- - Nuage de points
Le nuage de points associé à une suite $(u_n)$ est la représentation graphique dans un repère du plan des points $(n\,;\, u_n)$.
On peut construire les $6$ premiers points du nuage de points associé à la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n=2n^2-1$.
- - Sens de variation
Une suite $(u_n)$ est dite croissante si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \geq u_n$.
Une suite $(u_n)$ est dite décroissante si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \leq u_n$.
Une suite $(u_n)$ est dite constante si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n$.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $v_n=0,3n-4$.
Montrer que pour tout entier $n$, $v_{n+1} = 0,3n-3,7$.
Pour trouver l'expression algébrique de $v_{n+1}$ on remplace $n$ par $n+1$ dans l'expression algébrique de $v_n$.
$v_{n+1}$ $=$ $0,3(n+1)-4$$=$$0,3n+0,3-4$$=$$0,3n-3,7$.
En déduire le sens de variation de $(v_n)$.
Il nous fait ici comparer $v_n$ et $v_{n+1}$. On peut regarder pour cela le signe de leur différence :
La suite $(v_n)$ est donc croissante.Différents mode de génération d'une suite
Une suite $(u_n)$ est dite définie demanièreexplicite s'il existe une fonction $f$ telle que pour tout entier $n$, $u_n=f(n)$.
Une suite $(u_n)$ est dite définie parrécurrence si on connaît son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et s'il existe une relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
Les suites $u_n=2n^2-1$ et $v_n=0,3n-4$ étudiée précedemment sont définies de manière explicite.
La suite de l'introduction définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}$ $=$ $0,1u_n^2+2$ est définie par récurrence.