Statistiques
Rappels
Pour tout ensemble fini $E$ et tout sous-ensemble $A$ de $E$, on peut définir des relations entre la proportion de $A$ dans $E$ et les effectifs des ensembles $A$ et $E$ selon les formules suivantes :
On considère une donnée numérique qui a évolué d'une valeur $V_D$ en une valeur $V_A$.
La variation absolue vaut alors $\Delta V$$=$$V_A-V_D$.
La variation relative, ou taux d'évolution, vaut $t$$=$$\dfrac{V_A-V_D}{V_D}$.
Soit $t$ le taux d'évolution qui permet à une quantité de passer d'une valeur $V_D$ non nulle à une valeur $V_A$. On a alors :
$V_A$$=$$(1+t)V_D.$
Ce nombre $1+t$ est appelé coefficient multiplicateur. On peut le noter $CM$ et on a alors les formules suivantes :
$CM$ $=$ $1+t$
$CM$ $=$ $\dfrac{V_A}{V_D}$
$V_A$ $=$ $V_D\times CM$
$V_D$ $=$ $\dfrac{V_A}{CM}$
$t$ $=$ $CM-1$
Soit une quantité évoluant d'une valeur $V_D$ à une valeur $V_A$ et $CM$ le coefficient multiplicateur associé.
Le coefficient multiplicateur $CM_R$ associée à l'évolution réciproque d'une quantité qui évolue de $V_A$ à $V_D$ vaut :
$CM_R$$=$$\dfrac{1}{CM}$.
Le taux d'évolution réciproque associé vaut : $t_R$$=$$CM_R-1$.
Compléter le tableau de correspondance entre taux d'évolution et coefficients multiplicateurs suivant :
Taux d'évolution
$CM$
$+25$ %
$1,25$
$+8$ %
$1,08$
$+7,5$ %
$1,075$
$-35$ %
$0,65$
$-6$ %
$0,94$
$-4,3$ %
$0,957$
$+4$ %
1,04
$+13$ %
1,13
$+6,4$ %
1,064
$-20$ %
0,80
$-1$ %
0,99
$-26,6$ %
0,734
Soit une quantité qui subit deux évolutions. Une première évolution où elle passe d'une valeur $V_1$ à une valeur $V_2$, puis une deuxième où elle passe de $V_2$ à une valeur $V_3$.
On note $CM_1$ et $CM_2$ les deux coefficients multiplicateurs associés à ces évolutions.
Le coefficient multiplicateur global de l'évolution de $V_1$ à $V_3$ vaut alors :
$CM_g$$=$$CM_1\times CM_2$.
Le taux d'évolution global vaut : $t_g$$=$$CM_g-1$.
Le prix d'achat d'une voiture achetée neuve diminue lors de sa première année de $25$ %, puis de $15$ % la deuxième année.
De combien sa valeur aura-t-elle diminuée après ces deux premières années ?
Le coefficient multiplicateur associé à la première diminution vaut : $1-0,25$$=$$0,75$.
Le coefficient multiplicateur associé à la deuxième diminution vaut : $1-0,15$$=$$0,85$.
Le coefficient multiplicateur global vaut donc : $CM_g$$=$$0,75\times0,75$$=$$0,637\,5$.
Ce nombre correspond à un taux d'évolution global de $0,637\,5-1$$=$$-0,362\,5$soit une baisse de$36,25$ %.
On peut généraliser cette propriété à un nombre quelconque d'évolutions.Fréquences marginales, fréquences conditionnelles
On considère dans ce paragraphe une population sur laquelle on étudie deux caractères (ou variables) $A$ et $B$ dont les différents effectifs sont présentés dans un tableau à double entrée.
Sur l'ensemble de la production journalière d'une usine fabriquant des vis à partir de trois chaînes de production, on étudie la variable « chaîne de provenance » et la variable « conformité par rapport au cahier des charges ».
Chaîne 1
Chaîne 2
Chaîne 3
Total
Conformes
$4\,746$
$2\,399$
$2\,207$
$9\,352$
Non conformes
$254$
$101$
$293$
$648$
Total
$5\,000$
$2\,500$
$2\,500$
$10\,000$
Pour chaque variable, les effectifs de la ligne « Total » et de la colonne « Total » s'appellent les effectifs marginaux.
En les divisant par l'effectif total de la population, on obtient les fréquences marginales.
La fréquence marginale des vis qui proviennent de la chaîne $1$ est $\dfrac{5\,000}{10\,000}$$=$$0,5$ car parmi les $10\,000$ vis frabriquées, $5\,000$ proviennent de la chaîne $1$.
La fréquence marginale des vis qui sont conformes est $\dfrac{9\,352}{10\,000}$$=$$0,935\,2$ car sur les $10\,000$ vis fabriquées, il y en a $9\,352$ qui sont conformes.
Lorsqu'on fixe une valeur pour la variable $B$, soit, si on ne considère qu'une seuleligne ou une seulecolonne du tableau, les fréquences obtenues de la variable $A$ par rapport à la variable $B$, s'appelle fréquencesconditionnellesde $A$ relativement à$B$.
La fréquence conditionnelle des vis non conformes relativement à la chaîne $2$ est $\dfrac{101}{2\,500}$$=$$0\,040\,4$.
La fréquence conditionnelle des vis provenant de la chaîne $3$ relativement aux vis non conformes est $\dfrac{293}{648}$$=$$0\,452\,2$.
En d'autres termes on peut dire que dans un tableau à double entrée où on étudie deux variables $A$ et $B$ qui se décomposent en deux classes $A_1$, $A_2$ et $B_1$, $B_2$, la fréquence conditionnelle de $A_1$ par rapport à $B_2$ est l'effectif de $A_1$ dans la colonne (ou la ligne) $B_1$ divisé par l'effectif total de la colonne (ou la ligne) $B_2$.