Étude de fonctions (1) Généralités
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$.
Dans un repère du plan, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$, est l'ensemble des points de coordonnées $(x;y)$ tels que $y$ $=$ $f(x)$.

On retiendra les relations :
Antécédent⇆$x$⇆Abscisse
Image⇆$f(x)$⇆Ordonnée
On considère la représentation graphique d'une fonction $f$ dans un repère du plan ci-dessous.
On observe que
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$.
Pour déterminer les éventuels points d'intersection entre les courbes représentatives de ces deux fonctions, on résout l'équation :

$f(x)$ $=$ $g(x)$.
Pour toute solution $x_0$, le point d'intersection associée a alors pour coordonnées $(x_0;f(x_0))$. Réciproquement, résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ revient à chercher l'abscisse des points d'intersection entre les courbes des deux fonctions.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur courbe représentative respective.
Pour déterminer la position relative des courbes représentatives de ces deux fonctions, on résout l'inéquation :

$f(x)$ $\leq$ $g(x)$.
Dans la figure ci-contre, les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ presentent respectivement des fonctions $f$ et $g$.
L'ensemble des solution de l'inéquation $f(x)\leq g(x)$ sur l'intervalle $[-3\,;\,4]$ est :
$\square$ $[-1 \, ; \, 3]$

$\square$ $[-3 \, ; \, -1] \cup [3\,;4]$

$\square$ $[-3 \, ; \, -1] \cap [3\,;4]$

$\square$ $[3 \, ; \, +\infty [$

$\square$ $[-2 \, ; \, 2]$

$\square$ $]-2 \, ; \, 2[$
On cherche ici les $x$ (donc les abscisses) qui font que sur le graphique les $f(x)$ correspondants sont plus bas que les $g(x)$.
Cette situation se produit lorsque la courbe rouge de la fonction $f$ est en dessous de celle bleue de la fonction $g$, c'est-à-dire pour les $x$ compris entre $-1$ et $3$, soit sur l'intervalle $[-1\,;\,3]$. Rappels sur les fonctions affines
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est dite affine lorsqu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ $\in$ $\mathbb{R}$, $f(x)$ $=$ $ax+b$.

Les nombres $a$ et $b$ sont respectivement appelés le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$. La fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=7-11x$ est une fonction affine. Son ordonnée à l'origine vaut $7$ et son coefficient directeur $-11$.
Dans un repère orthonormé du plan, la courbe représentative d'une fonction affine est une droite sécante avec l'axe des ordonnées. Dans le repère ci-dessous, construire les courbes représentatives des deux fonctions affines $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :
$f(x)=\dfrac{1}{2}x-3$ $g(x)=-x+1$
Pour la fonction $f$ :
On a $f(0)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times0-3$ $=$ $-3$. Donc la droite passe par le point $(0;-3)$.

De plus, $f(4)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times4-3$ $=$ $-1$. Donc la droite passe également par le point $(4;-1)$.

Pour la fonction $g$ :
On a $g(0)$ $=$ $-0+1$ $=$ $1$. Donc la droite passe par le point $(0;1)$.

De plus, $g(6)$ $=$ $-6+1$ $=$ $-5$. Donc la droite passe également par le point $(6;-5)$.

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a\neq0$, et soit $f$ la fonction affine définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.
$\bullet$ Si $a>0$ alors : $f(x)>0$ si et seulement si $x> -\dfrac{b}{a}$.
$x$ $-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$ $f(x)$ $-$ 0 $+$

$\bullet$ Si $a < 0$ alors : $f(x)>0$ si et seulement si $x< -\dfrac{b}{a}$.
$x$ $-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$
Illustration
Soit $h$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $h(t)=3t-5$. Déterminer le tableau de signe de $h$ sur $\mathbb{R}$. Résolvons tout d'abord $h(t)=0$.
$h(t)$ $=$ $0$
$3t-5$ $=$ $0$
$3t$ $=$ $5$
$t$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.
Ainsi, puisque le coefficient directeur de $g$ vaut $3$ qui est un nombre positif, nous avons le tableau de signes suivant :
$t$ $-\infty$ $-\dfrac{5}{3}$ $+\infty$ $h(t)$ $-$ 0 $+$

Soit $f$ une fonction affine dont on note $a$ le coefficient directeur.
Pour tout nombre réel distincts $x_1$ et $x_2$, on a alors : $a$ $=$ $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ Soit $f$ la fonction affine dont la droite représentative passe par les points $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$.
Déterminer l'expression algébrique de $f$. Notons $a$ et $b$ le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$. On a alors :

$a$ $=$ $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ $=$ $\dfrac{-1-3}{4-(-2)}$ $=$ $\dfrac{-4}{6}$ $=$ $-\dfrac{2}{3}$.

Nous avons ainsi que pour tout réel $x$, $f(x)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}x+b$.

Pour déterminer $b$, il nous suffit alors de remplacer $x$ et $f(x)$ par les coordonnées respectives de $A$.

$f(-2)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}\times(-2)+b$
$3$ $=$ $\dfrac{4}{3}+b$
$3-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{3}{1}-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{9}{3}-\dfrac{4}{3}$ $=$ $b$
$\dfrac{5}{3}$ $=$ $b$
$b$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.

L'expression algébrique de $f$ est donc, pour tout réel $x$, $f(x)$ $=$ $-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$. Dans le repère ci-dessous a été tracée une droite représentant une fonction affine $g$.
Déterminer l'expression algébrique de $g$.
Nous voyons que la droite passe par le point de coordonnées $(0;-2)$, ainsi l'ordonnée à l'origine vaut $-2$.

La droite passe également par le point $(3;3)$, le coefficient directeur vaut donc :

$\dfrac{3-(-2)}{3-0}$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.
L'expression algébrique de $g$ est donc pour tout réel $x$ : $g(x)$ $=$ $\dfrac{5}{3}x-2$. Fonctions polynômes de degré 2
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels avec $a\neq 0$.
La fonction $f$ définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)$ $=$ $ax^2+bx+c$ est un polynôme de degré $2$.

Un nombre réel $x_0$ est une racine de $f$ si et seulement si $f(x_0)$ $=$ $0$. Pour le polynôme $g(x)=-2x^2+3x+5$, on a $a=$ $-2$, $b=$ $3$ et $c=$ $5$.

Les nombres $-1$ et $\dfrac{5}{2}$ sont des racines de $g$.

En effet : $g(-1)$ $=$ $-2\times(-1)^2+3\times(-1)+5$ $=$ $0$.
Et : $g\left( \dfrac{5}{2} \right)$ $=$ $-2\times\left(\dfrac{5}{2} \right)^2+3\times\dfrac{5}{2}+5$
$=$ $-2\times\dfrac{25}{4} +\dfrac{15}{2}+\dfrac{10}{2}$
$=$ $-\dfrac{25}{2} +\dfrac{15}{2}+\dfrac{10}{2}$
$=$ $0$.

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$, telle que pour tout réel $x$ : $$f(x)=ax^2+bx+c,$$ avec $a\neq0$, $b$ et $c$ des nombres réels.
La courbe représentative de $f$ dans un repère du plan est une parabole.
Si $b$ $=$ $0$, c'est-à-dire si $f(x)$ $=$ $ax^2+c$, alors l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la parabole.

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$, telle que pour tout réel $x$ : $$f(x)=ax^2+bx+c,$$ avec $a\neq0$, $b$ et $c$ des nombres réels.
Si $f$ possède deux racines $x_1$ et $x_2$ alors son expression algébrique est : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
En considérant $x_1 < x_2$, ona a : La parabole représentant $f$ possède dans cette situation un axe de symétrique d'équation $x=d$ avec $d=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ La courbe représentative de $x\mapsto$ $(x-1)(x+2)$ ci-dessous possède un axe de symétrie d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$.
La courbe représentative de $x\mapsto$ $-2(x+1)(x+3)$ ci-dessous possède un axe de symétrie d'équation $x=-2$.

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$, telle que pour tout réel $x$ : $$f(x)=ax^2+bx+c,$$ avec $a\neq0$, $b$ et $c$ des nombres réels. La parabole représentant $f$ dans un repère du plan possède un axe de symétrie d'équation $x=$ $-\dfrac{b}{2a}$. Soit $p$ la fonction polynôme de degré $2$ définie pour tout réel $x$ par $p(x)=x^2+5x+1$.
Déterminer l'équation de l'axe de symétrie $\Delta$ de la parabole représentant $p$ dans le repère ci-dessous, puis construire $\Delta$.
Pour ce polynôme $p(x)=x^2+5x+1$ on pose : $a=$ $1$, $b=$ $5$ et $c=$ $1$.
On a $-\dfrac{b}{2a}$ $=$ $-\dfrac{5}{2}$.
L'équation de $\Delta$ est donc $x=-\dfrac{5}{2}$.