Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Primitives / Équation différentielles Généralités
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur intervalle $I$.
Une équation différentielle est une équation qui met en relation la variable, la fonction $f$, sa dérivée $f'$, ainsi qu'éventuellement ses dérivées d'ordre supérieur. Les deux équations ci-dessous sont des équations différentielles :

Soit $n$ un entier naturel. Une équation différentielle d'ordre $n$ est une équation différentielle où la dérivée de plus grand ordre est $n$.
Toute fonction $f$ qui vérifie une équation différentielle est appelée solution de cette équation.
Résoudre une équation différentielle, c'est déterminer toutes les fonctions solutions. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\text{e}^{-3x}$ est une solution de l'équation différentielle $y'=-3y$.
En effet, $f'(x)$ $=$ $-3\text{e}^{-3x}$ $=$ $-3\times f(x)$.
Cependant, cette fonction n'est pas la seule solution. Par exemple, la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=10\text{e}^{-3x}$ est également une solution de cette équation différentielle :
$g'(x)$ $=$ $-30\text{e}^{-3x}$ $=$ $-3g(x)$.

Soit $n$ un entier naturel. On considère une équation différentielle d'ordre $n$ d'inconnue $y$ sur un intervalle $I$, ainsi qu'un réel $x_0\in I$.
La donnée de $y(x_0)$, ou d'une des dérivées de $y$ en $x_0$ (par exemple $y'(x_0)$, ou $y''(x_0)$, $\dots$) s'appelle une condition initiale. La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(t)=5\text{e}^{2t}$ est la solution de l'équation $y'=2y$ vérifiant la condition initiale $y(0)$ $=$ $5$.
Équation différentielle $y'=f$
Soient $f$ et $F$ des fonctions définies sur un intervalle $I$.
On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et qu'elle est solution de l'équation différentielle $y'=f$. En d'autres termes, $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'=f$. La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\longmapsto 2x$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x\longmapsto2$. Trouver des solutions définies sur $\mathbb{R}$ aux équations différentielles suivantes :
  1. $y'=x$
  2. $y' = x^2+1$
  1. $y_1(x)$ $=$ $\dfrac{1}{2}x^2$ est une solution de cette équation.
    La fonction $y_2(x)$ $=$ $\dfrac{x^2}{2}+13$ est également une solution.
  2. $y(x)=\dfrac{x^3}{3}+x+1993$ est solution de l'équation.

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cette intervalle
Soit $f$ une fonction continue définie sur un intervalle $I$.
Les primitives de $f$ différent toutes d'une constante. Preuve
Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur $I$.
La fonction $F-G$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée vérifie :
$(F-G)'$ $=$ $F'-G'$ $=$ $f-f$ $=$ $0$.
Ainsi $F-G$ est constante sur $I$ et les primitives de $f$ différent bien d'une constante.
Soient $f$ une fonction définie sur $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
Les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $x\longmapsto F(x)+k$, pour tout $k\in\mathbb{R}$. Les primitives de $x\longmapsto x$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $x\longmapsto \dfrac{x^2}{2}+\lambda$, avec $\lambda\in\mathbb{R}$.
Pour déterminer des primitives, il sera utile de connaître les tableaux ci-dessous. Les deux dernières lignes seront vues dans un prochain chapitre.

Fonction $f$ Primitive $F$ Domaine de définition
$k$ constante $kx$ $\mathbb{R}$
$x$ $\dfrac{x^2}{2}$ $\mathbb{R}$
$x^n$, $n\in\mathbb{N}$ $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ $\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x^2}$ $-\dfrac{1}{x}$ $\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^3}$ $-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{x^2}$ $\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^n}$, $n\in\mathbb{N}^*$ $-\dfrac{1}{n-1}\times\dfrac{1}{x^{n-1}}$ $\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ $2\sqrt{x}$ $]0\,;+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$ $\ln(x)$ $]0\,;+\infty[$
$\mathrm{exp}(x)$ $\mathrm{exp}(x)$ $\mathbb{R}$
$\cos(x)$ $\sin(x)$ $\mathbb{R}$
$\sin(x)$ $-\cos(x)$ $\mathbb{R}$


Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables.

Fonction Primitive
$u'\times(v'\circ u)$ $v \circ u$
$u'u^n$, $n\in\mathbb{N}$ $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u'}{u^n}$, $n\in\mathbb{N}$ $-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}(x)}$
$\dfrac{u'}{u}$ $\ln |u|$
$u'\mathrm{e}^u$ $\mathrm{e}^u$
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ $\sqrt{u}$
$u'\cos(u)$ $\sin(u)$
$u'\sin(u)$ $-\cos(u)$
  1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$. Déterminer une primive sur $\mathbb{R}$ de $f$.

  2. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ : $y'=\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$
  1. La fonction $f$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec : $u(x)=x^2+1$ et $u'(x) = 2x$.

    De plus, $u(x)>0$, ainsi, la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=\ln(x^2+1)$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f$.

  2. L'expression $\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ est de la forme $\dfrac{\frac{1}{2}u'}{u^2}$ avec $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$.
    Ainsi les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x)$ $=$ $-\dfrac{\frac{1}{2}}{x^2+1}+k$ $=$ $-\dfrac{1}{2(x^2+1)}+k$, avec $k\in\mathbb{R}$.
Équation différentielles $y'=ay$
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=ay$, avec $a\neq0$.
  1. Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.

  2. Étant donnés deux réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale $y(x_0)$ $=$ $y_0$.
    Cette condition permet de déterminer la constante $C$ de $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}$.
Preuve
  1. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=C e^{a x},$ oú $C$ est un réel.
    Alors, $f^{\prime}(x)$ $=$ $C \times a e^{x^{\prime \prime}}$ $=$ $a f(x)$. Puisque $f^{\prime}(x)$ $=$ $a f(x)$ pour tout réel $x, f$ est bien solution de l'équation differentielle $y = ay$.

    Reciproquement, soit $f$ une solution de l'équation differentielle $(E)$ $y= ay$ et soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^{-a x} \times f(x)$.
    La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g^{\prime}(x)$ $=$ $e^{-a x} \times f^{\prime}(x)-a e^{-a x} \times f(x)$.
    Puisque $f$ est solution de $(E)$, $f^{\prime}(x)$ $=$ $a f(x)$ pour tout réel $x$ et ainsi :
    $g^{\prime}(x)$ $=$ $e^{-ax}\times a f(x)-a e^{-a x} \times f(x)$ $=$ $0$.
    La fonction $g$ est constante, il existe donc un réel $C$ tel que $g(x)=C$, c'est-à-dire : $e^{-a x} \times f(x)$ $=$ $C$.
    Puisque $e^{-a x}$ est different de $0$ pour tout réel $x$, on obtient:
    $f(x)$ $=$ $\dfrac{C}{e^{-ax}}$ $=$ $C e^{a x}$.
  2. Une solution de $(E)$ est de la forme $y$ $=$ $C\text{e}^{ax}$.
    De plus, $y(x_0)=y_0$, donc $y_0$ $=$ $C\text{e}^{ax_0}$ et $C$ $=$ $\dfrac{y_0}{e^{ax_0}}$, c'est-à-dire $C$ $=$ $y_0\text{e}^{-ax_0}$.
    Ainsi, la fonction définie pour tout réel $x$ par $y(x)$ $=$ $y_0\text{e}^{-ax_0}\text{e}^{ax}$ $=$ $y_0\text{e}^{a(x-x_0)}$ est l'unique solution cherchée.
Résoudre l'équation différencielle $(E)$ : $y'=8y$, puis déterminer la solution vérifiant $y(-1)=1$. Les solutions de $(E)$ sont toutes les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{8x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.
Pour la solution particulière vérifiant $y(-1)=1$, on a :
$C\text{e}^{-8}$ $=$ $1$, c'est-à-dire $C$ $=$ $e^{8}$.
Ainsi la solution cherchée est $y(x)=\text{e}^8\text{e}^{8x}$ $=$ $\text{e}^{8x+8}$. Les solutions de l'équation différentielle $y'=-2y$, sont les fonctions $y(x)=C\text{e}^{-2x}$. On peut observer leur courbe dans le graphique ci-dessous.

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=ay$, avec $a\neq0$. On note $y_1$ et $y_2$ deux solutions de $(E)$ et $k$ un réel.
La fonction somme $y_1+y_2$ et la fonction $ky_1$ sont également des solutions de $(E)$.
Équation différentielles $y'=ay+b$
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'=ay+b$, avec $a$ et $b$ non nuls.
  1. Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle.

  2. Étant donnés deux réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale $y(x_0)$ $=$ $y_0$.
Résoudre l'équation différentielle $y'=3y+2$ avec $y(0)=1$. Les solutions de l'équation sont de la forme $y(x)=C\text{e}^{3x}-\dfrac{2}{3}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

De plus, $y(0)=1$, donc $C\text{e}^0-\dfrac{2}{3}=1$, c'est-à-dire $C=\dfrac{5}{3}$.

La solution cherchée est donc la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $y(x)=\dfrac{5}{3}\text{e}^{3x}-\dfrac{2}{3}$.
Guide de résolution des équations différentielles du type $y'=ay+f$ Pour résoudre une équation différentielle $(E)$ de la forme $y'=ay+f$, l'énoncé nous guide en respectant les étapes suivantes:
  1. On cherche une solution particulière $\varphi$ (en pratique, il suffit de vérifier que la fonction indiquée par l'énoncé convient);
  2. On montre que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-\varphi$ est une solution de l'équation homogène $y'=ay$;
  3. On résout l'équation homogène $y'=ay$.
  4. On en déduit que l'ensemble des solutions de (E) s'écrivent alors : $y=C\text{e}^{ax}+\varphi$, avec $C\in\mathbb{R}$.
Soit $(E)$ l'équation différentielle : $y'=2y+x^2$
  1. Montrer que la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}$ est une solution de particulière de $(E)$.
  2. Démontrer qu'une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $f-g$ est solution de l'équation différentielle $y'=2y$.
  3. Résoudre alors l'équation $(E)$.
  1. Pour tout réel $x$, $g'(x)$ $=$ $-x-\dfrac{1}{2}$.

    De plus : $2g(x)+x^2$ $=$ $-x^2-x-\dfrac{1}{2}+x^2$ $=$ $-x-\dfrac{1}{2}$ $=$ $g'(x)$.

    La fonction $g$ est bien une solution particulière de $(E)$.

  2. $f$ est solution de $(E)$ ssi $f'=2f+x^2$
    ssi $f'-2f=x^2=g'-2g$ vu que g est solution de $(E)$
    ssi $(f-g)'-2(f-g)=0$
    ssi $f-g$ est solution de $y'=2y$.

  3. Les solutions de l'équation $y'=2y$ sont de la forme $y(x)=C\text{e}^{2x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.
    Donc, $f-g$ est solution de $y'=2y$ si et seulement si il existe $C\in\mathbb{R}$ tel que $f-g=C\text{e}^{2x}$ c'est-à-dire tel que $f$ $=$ $g+C\text{e}^{2x}$.
    Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
    $f(x)$ $=$ $C\text{e}^{2x}-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}$, avec $C\in\mathbb{R}$.