--> TS ∼ DST 2019/12/07 On considère dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ ci-dessous, les points $A(0;0;4)$, $B(5;0;0)$, $F(0;3;2)$ et $G(4;1,2;0)$. Ymin = -4 Ymax = 4 Xmin = -4 Xmax = 4.3 traceAxes3d() couleur = gris for(var i=1;i < 7; i++){ segment([i,0,0],[i,6,0]) segment([i,0,0],[i,0,6]) segment([0,i,0],[0,i,6]) segment([0,i,0],[7,i,0]) segment([0,0,i],[6,0,i]) segment([0,0,i],[0,6,i]) } couleur = noir texte("O",[0.5,0.1,-0.2]) A=point([0,0,4]) texte("A",[0,0.2,3.9]) B=point([5,0,0]) texte("B",[5,0.2,-0.1]) F=point([0,3,2]) texte("F",[0,3.1,1.9]) G=point([4,1.2,0]) texte("G",[4,1.3,-0.1]) C=point([0,6,0]) texte("C",[0,6.1,0]) segment([0,0,4],[5,0,0]) segment([0,0,4],[0,6,0]) segment([5,0,0],[0,6,0])
  1. Placer les points $F$ et $G$ dans le repère.
    2. Voir graphique précédent
  2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{BG}$.
    3. $\overrightarrow{AF}=\begin{pmatrix}x_F-x_A \ y_F-y_A \z_F-z_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}0-0 \ 3-0 \2-4\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}0 \ 3 \-2\end{pmatrix}$.
    $\overrightarrow{BG}=\begin{pmatrix}x_G-x_B \ y_G-y_B \z_G-z_B\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 4-5\ 1,2-0 \0-0\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}-1 \ 1,2 \0\end{pmatrix}$.
  3. En déduire des paramétrisations pour les droites $(AF)$ et $(BG)$.
    4. Paramétrisation de $(AF)$
    $\left\{\begin{array}{rcl} x & = & x_A + x_{\overrightarrow{AF}}t \ y & = & y_A + y_{\overrightarrow{AF}}t \ z & = & y_A + y_{\overrightarrow{AF}}t \ \end{array} \right., t\in\mathbb{R}$ ssi $\left\{\begin{array}{rcl} x & = & 0 \ y & = & 3t \ z & = & 4 -2t \ \end{array} \right., t\in\mathbb{R}$.

    Paramétrisation de $(BG)$
    $\left\{\begin{array}{rcl} x & = & x_B + x_{\overrightarrow{BG}}t' \ y & = & y_B + y_{\overrightarrow{BG}}t' \ z & = & y_B + y_{\overrightarrow{BG}}t' \ \end{array} \right., t'\in\mathbb{R}$ ssi $\left\{\begin{array}{rcl} x & = & 5-t' \ y & = & 1,2t' \ z & = & 0 \ \end{array} \right., t'\in\mathbb{R}$. D'autres paramétrisations sont correctes si on choisit d'autres points appartenant aux droites et/ou d'autres vecteurs directeurs.
  4. Montrer que les droites $(AF)$ et $(BG)$ sont sécantes en un point $C$.
    5. On résout pour cela le système suivant : $$\left\{\begin{array}{rcl} 0 & = & 5-t' \ 3t & = & 1,2t' \ 4-2t & = & 0 \ \end{array} \right.$$ $$\text{ssi }\left\{\begin{array}{rcl} t' & = & 5 \ 3t & = & 1,2\times5 \ t & = & 2 \ \end{array} \right.$$ $$\text{ssi }\left\{\begin{array}{rcl} t' & = & 5 \ 6 & = & 6 \ t & = & 2 \ \end{array} \right.$$ Ainsi, les droites $(AF)$ et $(BF)$ sont bien sécante. En remplaçant $t$ par $2$ dans la paramétrisation de $(AF)$, on obtient : $C(0;6;0)$.
  5. Déterminer le volume du tétraèdre $OABC$.
    6. La formule du volume d'un tétraèdre est : $\dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{base}\times hauteur$.
    En considérant la base $OBC$, la hauteur correspondante est $OA=4$.
    Le triangle $OBC$ est rectangle en $O$ donc son aire vaut : $\dfrac{1}{2}OB\times OC=\dfrac{1}{2}\times5\times6=15$.
    Ainsi le volume cherché vaut : $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 15\times 4=20$.
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
• la probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,1$ ;
• s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,8$ ;
• s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$.

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

• G$_{n}$ l'évènement " le joueur gagne la $n$-ième partie " ;
• $p_{n}$ la probabilité de l'évènement G$_{n}$·

On a donc $p_{1} = 0,1$.

Partie A - Les premières parties
  1. Montrer que $p_{2} = 0,62$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
    2. D'après la formule des probabilités totale on a :
    $p_2=0,1\times0,8+0,9\times0,6$ $=$ $0,62$.
  2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
    3. On cherche : $P_{G_2}(\overline{G_1})=\dfrac{P(\overline{G_1}\cap G_2)}{P(G_2)}$ $=$ $\dfrac{0,9\times0,6}{0,62}$ $\approx$ $0,871$.
  3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
    4. On construit tout d'abord l'arbre suivant :
    L'événement contraire de celui dont on cherche la probabilité est D : "le joueur ne gagne aucune partie".
    On a : $P(D)=0,9\times0,4\times0,4=0,144$.
    Ainsi la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties est : $1-0,144 = 0,856$.
Partie B - Un grand nombre de parties
  1. Compléter l'arbre de probabilité suivant :
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$.
    3. D'après la formule des probabilités totales on a :
    $p_{n+1} = p(\text{G}_{n+1})=p_n\times0,8+(1-p_n)\times0,6$ $=$ $0,8p_n+0,6-0,6p_n$ $=$ $0,2p_n+0,6$ $=$ $\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{3}{5}$.
  3. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par : $u_n=p_n-\dfrac{3}{4}$.
    1. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et en déduire que pour tout entier $n$ :
      $p_{n} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n$.
      2. Pour tout entier $n$ :
      $u_{n+1}$ $=$ $p_{n+1}-\dfrac{3}{4}$
      $=$ $\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{4}$
      $=$ $\dfrac{1}{5}p_n-\dfrac{3}{20}$
      $=$ $\dfrac{1}{5}\left(p_n-\dfrac{3}{4}\right)$
      $=$ $\dfrac{1}{5}u_n$.
      Ainsi la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. Son premier terme $u_1=p_1-\dfrac{3}{4}$ $=$ $0,1-\dfrac{3}{4}$ $=$ $-\dfrac{13}{20}$.
      Pour tout entier $n\geq1$, on a alors :

      $u_n=u_1\times\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1}$ $=$ $-\dfrac{13}{20}\times\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1}$ $=$ $-\dfrac{13}{4}\times\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1}$ $=$ $-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n}$.

      Or, $u_n=p_n-\dfrac{3}{4}$, c'est-à-dire : $p_n=u_n+\dfrac{3}{4}$ $=$ $\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n}$.
    2. Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
      Interpréter ce résultat pour le joueur.
      3. On a $\dfrac{1}{5}\in[0\,;1[$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n}=0}$.
      Ainsi : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}p_n=\dfrac{3}{4}}$.
      Ce qui veut dire qu'après un nombre important de parties jouées, la probabilité que le joueur gagne une partie est de $0,75$.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x^5(1-x)$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
  1. Montrer que, pour tout $x\in[0;1]$, $f'(x)=x^4(5-6x)$.
    2. La fonction $f$ est de la forme $u\times v$ avec :
    $u(x)=x^5$ et $u'(x)=5x^4$,
    $v(x)=1-x$ et $v'(x)=-1$.

    Ainsi, pour tout $x\in[0\,;1]$ :

    $f'(x)$ $=$ $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $=$ $5x^4(1-x)+x^5\times(-1)$
    $=$ $5x^4-5x^5-x^5$
    $=$ $5x^4-6x^5$
    $=$ $x^4(5-6x)$.
  2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;1]$, et la valeur maximale de $f$ sur cet intervalle.
    3. Pour tout $x\in[0\,;1]$, $x^4\geq0$, donc $f'(x)$ est du signe de $5-6x$.
    Or, $5-6x\geq0\,\,$ ssi $\,\,5\geq 6x\,\,$ ssi $\,\,\dfrac{5}{6}\geq x$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $x$ $0$ $\dfrac{5}{6}$ $1$ $f'(x)$ $+$ 0 $-$ $\approx0,268$ $f(x)$ croissante décroissante $0$ $0$
    Avec $f(0)=0$, $f(1)=0$ et $f\left( \dfrac{5}{6} \right)=\left( \dfrac{5}{6} \right)^5\times\dfrac{4}{6} \approx0,268$
  3. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
    4. L'équation de cette tangente est :
    $y$ $=$ $f'(1)(x-1)+f(1)$
    $y$ $=$ $-1(x-1)+0$
    $y$ $=$ $-x+1$.
  4. Démontrer que l'équation $f(x)=0,01$ admet exactement deux solutions sur $[0\,;1]$.
    On note $\alpha$ la plus petite de ces solutions. Déterminer un encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    5. Sur l'intervalle $\left[0\,;\dfrac{5}{6}\right]$ :
    • $f$ est continue (car dérivable),
    • $f$ est strictement croissante,
    • $f(0)=0 < 0,01$ et $f\left( \dfrac{5}{6} \right)\approx0,268 > 0,01$
    Ainsi, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=0,01$ admet une unique solution sur l'intervalle $\left[0\,;\dfrac{5}{6}\right]$.

    Sur l'intervalle $\left[\dfrac{5}{6}\,;1\right]$ :
    • $f$ est continue (car dérivable),
    • $f$ est strictement décroissante,
    • $f\left( \dfrac{5}{6} \right)\approx0,268 > 0,01$ et $f(1)=0 < 0,01$.
    Ainsi, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=0,01$ admet une unique solution sur l'intervalle $\left[\dfrac{5}{6}\,;1\right]$.

    Par conséquent l'équation $f(x)=0,01$ admet une unique solution sur $[0\,;1]$.

    Encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$ :
    Par balayage à la calculatrice on obtient :
    $0,4$ $ < $ $\alpha$ $ < $ $0,5$
    $0,44$ $ < $ $\alpha$ $ < $ $0,45$
On considère les deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par : $$\left\{\begin{array}{ll} a_0=1 \text{ et }a_{n+1}=\dfrac{2}{b_n}, \\ b_0=2 \text{ et } b_{n+1}=\dfrac{a_{n+1}+b_n}{2}.\\ \end{array} \right.$$
  1. Compléter le tableau ci-dessous, en arrondissant si nécessaire à $10^{-4}$ :
    $n$ $a_n$ $b_n$
    $0$ $1$ $2$
    $1$
    $2$
    $3$
    $4$ Allez l'OM!!!! Allez l'OM!!!!
    2. $n$ $a_n$ $b_n$
    $0$ $1$ $2$
    $1$ $1$ $1,5$
    $2$ $1,3333$ $1,4167$
    $3$ $1.4118$ $1.4142$
    $4$ $1.4142$ $1.4142$
  2. Émettre une conjecture sur la limite des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
    3. On peut alors conjecturer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ converge vers la même limite qui semble être $\sqrt{2}$.
  3. L'algorithme incomplet ci-dessous, permet de déterminer $a_5$ et $b_5$. Compléter cet algorithme.
    4. $a$ ← $1$
    $b$ ← $\dots$
    Pour i allant de 1 jusqu'à 5 faire :

    8$a$ ← $\dfrac{2}{\dots}$

    8$b$ ← $\dfrac{\dots+b}{2}$

    Fin de boucle Pour
    $a$ ← $1$
    $b$ ← $2$
    Pour i allant de 1 jusqu'à 5 faire :

    8$a$ ← $\dfrac{2}{b}$

    8$b$ ← $\dfrac{a+b}{2}$

    Fin de boucle Pour

    Voici un exemple de traduction en Python de cet algorithme avec affichage progressive de la valeur des variables :

    a = 1.0 b = 2.0 for i in range(1,5): a = 2/b b=(a+b)/2 print(a) print(b) print("----")
  4. On admet dans cette question qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : $$\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=a\,\, \text{ et }\lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=b.$$ On peut remarquer alors que : $$\lim_{n\rightarrow+\infty}a_{n+1}=a\,\, \text{ et }\lim_{n\rightarrow+\infty}b_{n+1}=b.$$
    1. Justifier que $a=\dfrac{2}{b}$ et que $2b=a+b$.
      2. Puisque, pour tout entier $n$, $a_{n+1}=\dfrac{2}{b_n}$, on a alors :

      $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{2}{b_n}}$, c'est-à-dire : $a=\dfrac{2}{b}$.

      De même, puisque $b_{n+1}=\dfrac{a_{n+1}+b_n}{2}$, on a :

      $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}b_{n+1}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{a_{n+1}+b_n}{2}}$, c'est-à-dire : $b=\dfrac{a+b}{2}$.
      Et alors : $2b=a+b$.
    2. En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
      3. L'égalité $2b=a+b$, donne $b=a$.
      Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ ont donc même limite.

      Et l'égalité $a=\dfrac{2}{b}$, devient : $a=\dfrac{2}{a}$, c'est-à-dire $a^2=2$.

      Et donc : $a=-\sqrt{2}$, ou $a=\sqrt{2}$.
      Mais puisque $a_0$ et $b_0$ sont strictement positifs, et que pour obtenir les termes suivants des suites on n'utilise que des additions ou divisions, tous les termes sont positifs.
      Ainsi, on peut affirmer que $a=b=\sqrt{2}$.