Enseignement scientifique ∼ Pourcentages et évolution Rappels de cours
Pour tout ensemble fini $E$ et tout sous-ensemble $A$ de $E$, on peut définir des relations entre la proportion de $A$ dans $E$ et les effectifs des ensembles $A$ et $E$ selon les formules suivantes :
$\text{Proportion} =$ $\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Tout} } $
$\text{Partie} =$ $\text{Tout} \times \text{Proportion}$
$\text{Tout} =$ $\dfrac{ \text{Partie} }{ \text{Proportion} } $

On considère une donnée numérique qui a évolué d'une valeur $V_D$ en une valeur $V_A$.
Soit $t$ le taux d'évolution qui permet à une quantité de passer d'une valeur $V_D$ non nulle à une valeur $V_A$. On a alors : $V_A$ $=$ $(1+t)V_D.$ Ce nombre $1+t$ est appelé coefficient multiplicateur. On peut le noter $CM$ et on a alors les formules suivantes :
$CM$ $=$ $1+t$
$CM$ $=$ $\dfrac{V_A}{V_D}$
$V_A$ $=$ $V_D\times CM$
$V_D$ $=$ $\dfrac{V_A}{CM}$
$t$ $=$ $CM-1$

Soit une quantité évoluant d'une valeur $V_D$ à une valeur $V_A$ et $CM$ le coefficient multiplicateur associé.
Le coefficient multiplicateur $CM_R$ associée à l'évolution réciproque d'une quantité qui évolue de $V_A$ à $V_D$ vaut : $CM_R$ $=$ $\dfrac{1}{CM}$.
Le taux d'évolution réciproque associé vaut : $t_R$ $=$ $CM_R-1$. Compléter le tableau de correspondance entre taux d'évolution et coefficients multiplicateurs suivant :
Taux d'évolution $CM$
$+25$ % $1,25$
$+8$ % $1,08$
$+7,5$ % $1,075$
$-35$ % $0,65$
$-6$ % $0,94$
$-4,3$ % $0,957$
$+4$ % 1,04
$+13$ % 1,13
$+6,4$ % 1,064
$-20$ % 0,80
$-1$ % 0,99
$-26,6$ % 0,734

Soit une quantité qui subit deux évolutions. Une première évolution où elle passe d'une valeur $V_1$ à une valeur $V_2$, puis une deuxième où elle passe de $V_2$ à une valeur $V_3$.
On note $CM_1$ et $CM_2$ les deux coefficients multiplicateurs associés à ces évolutions.
Le coefficient multiplicateur global de l'évolution de $V_1$ à $V_3$ vaut alors : $CM_g$ $=$ $CM_1\times CM_2$. Le taux d'évolution global vaut : $t_g$ $=$ $CM_g-1$. Le prix d'achat d'une voiture achetée neuve diminue lors de sa première année de $25$ %, puis de $15$ % la deuxième année.
De combien sa valeur aura-t-elle diminuée après ces deux premières années ? Le coefficient multiplicateur associé à la première diminution vaut : $1-0,25$ $=$ $0,75$.
Le coefficient multiplicateur associé à la deuxième diminution vaut : $1-0,15$ $=$ $0,85$.
Le coefficient multiplicateur global vaut donc : $CM_g$ $=$ $0,75\times0,75$ $=$ $0,637\,5$.
Ce nombre correspond à un taux d'évolution global de $0,637\,5-1$ $=$ $-0,362\,5$ soit une baisse de $36,25$ %. On peut généraliser cette propriété à un nombre quelconque d'évolutions. Exercices Calculer :
10% de 14 23% de 1540 2% de 1000 000
50% de 11 120% de 13 25% de 540
67% de 200 500% de 178 46% de 100
Voici des salaires suivis d'une augmentation ou d'une diminution. Trouver le nouveau salaire après évolution.
  1. Salaire : 1000 € Augmentation : 3%
  2. Salaire : 1500 € Diminution : 7%
  3. Salaire : 5000 € Augmentation : 1,5%
  4. Salaire : 2300 € Diminution : 4,2%
Dans un lycée de $1\,200$ élèves, une enquête a été menée sur leurs habitudes alimentaires à la cantine.
Lors de l'enquête, on append que $340$ élèves mangent régulièrement à la cantine.
Parmi ceux qui mangent à la cantine, $65\,\%$ choisissent systèmatiquement un dessert à la place d'un fruit et parmi ceux-ci $70\,\%$ choisissent un gâteau comme dessert.
On sait que $91$ élèves de seconde mangent à la cantine et qu'ils représentent $38\,\%$ du nombre d'élèves total de seconde de ce lycée.
  1. Quelle proportion d'élèves de ce lycée mangent régulièrement à la cantine ?
  2. Combien d'élèves choisissent systèmatiquement un dessert, et combien choisissent un gâteau comme dessert ?
  3. Combien dénombre-t-on d'élèves de seconde dans ce lycée ?
Dans un hôpital, le service de soins intensifs suit régulièrement l’évolution de ses effectifs en personnel infirmier pour garantir une bonne prise en charge des patients.
En 2022, le service comptait $104$ infirmiers. En 2023, ce nombre est passé à $80$.
  1. Calculer le taux d’évolution du nombre d’infirmiers entre 2022 et 2023. Exprimer le résultat en décimal et en pourcentage.
  2. L’hôpital prévoit une diminution de $10\,\%$ de ces effectifs infirmiers en 2024, puis une augmentation de $5\,\%$ en 2025.
    Déterminer le taux d'évolution globale entre 2023 et 2025, puis calculer le nombre d'infirmiers en 2025.
Voici le chiffres d'affaires annuels d'une certaine entreprise sur plusieurs années.
2005 2006 2007 2008 2009
Chiffre d'affaire en centaines de milliers d'euro 2,34 4,51 3,26 5,78 4,32
Evolution en %
Compléter le tableau. D'après l'INSEE, en janvier 2020 la population française s'élevait à $67\,441\,850$ personnes et à $67\,697\,091$ en janvier 2021.
Durant l'année 2020 on a comptabilisé $735\,196$ naissances et $661\,585$ décès.
Le taux de natalité est le rapport entre le nombre annuel de naissances et la population totale moyenne sur cette année. Il s'exprime généralement en pour mille (‰).
En notant $TN$ le taux de natalité, $n$ le nombre de naissances dans l'année et $p$ la population totale moyenne au cours de la même année (moyenne des effectifs en début et en fin d'année) on a : $$TN=\dfrac{n}{p}\times1000.$$ On définit le taux de mortalité $TP$ de la même façon avec : $TP=\dfrac{m}{p}\times1000$, où $m$ est le nombre de décès dans l'année.
  1. Déterminer le solde naturel (différence entre les décès et les naissances) pour l'année 2020.
  2. À partir des formules données, déterminer les taux de natalité et de mortalité pour l'année 2020.
  3. Déterminer le taux d'évolution en pourcentage de la population française entre janvier 2020 et janvier 2021.
  4. En estimant que ce taux d'évolution reste constant, dans combien d'année la population française dépassera-t-elle 70 millions d'habitants ? 100 millions d'habitants ?