--> Livret d'algèbre Effectuer les calculs suivants :

$A$ $=$ $3+4\times( 5-3\times( 2+4\times(-7) ) )$
$A$ $=$ $3+4\times( 5-3\times( 2+4\times(-7) ) )$
$=$ $3+4\times( 5-3\times( 2 -28 ) )$
$=$ $3+4\times( 5-3\times( -26 ) )$
$=$ $3+4\times( 5+78 )$
$=$ $3+4\times83$
$=$ $3+332$
$=$ $335$.
$B$ $=$ $(4\times(3-8)-7\times 3)\times 2-(7-5\times(3-4\times 3+7))$
$B$ $=$ $(4\times(3-8)-7\times 3)\times 2-(7-5\times(3-4\times 3+7))$
$=$ $(4\times(-5)-21)\times 2-(7-5\times(3-12+7))$
$=$ $(-20-21)\times 2-(7-5\times(-2))$
$=$ $-41\times 2-(7+10)$
$=$ $-82-17$
$=$ $-99$.
$C$ $=$ $6+3\times(-7)+(6+3\times(2-4\times(3-5\times 4+11-5+23\times(2\times 4-7+4\times 6))))$
$C$ $=$ $6+3\times(-7)+(6+3\times(2-4\times(3-5\times 4+11-5+23\times(2\times 4-7+4\times 6))))$
$=$ $6-21+(6+3\times(2-4\times(3-20+6+23\times(8-7+24))))$
$=$ $-15+(6+3\times(2-4\times(-11+23\times25)))$
$=$ $-15+(6+3\times(2-4\times(-11+575)))$
$=$ $-15+(6+3\times(2-4\times564))$
$=$ $-15+(6+3\times(2-2\,256))$
$=$ $-15+(6+3\times(-2\,254))$
$=$ $-15+(6-6\,762))$
$=$ $-15-6\,756$
$=$ $-6\,771$.
Compléter les pointillés pour que les égalités soient vraies.

$\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{\dots}$ $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{5}{2}=\dfrac{\dots}{10}$ $\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{10}$
$\dfrac{35}{\dots}=\dfrac{5}{2}$ $\dfrac{35}{10}=\dfrac{5}{2}$
$\dfrac{34}{13}=\dfrac{170}{65}$ $\dfrac{34}{16}=\dfrac{\dots}{65}$
$\dfrac{\dots}{42}=\dfrac{49}{7}$ $\dfrac{294}{42}=\dfrac{49}{7}$
$\dfrac{33}{\dots}=\dfrac{132}{68}$ $\dfrac{33}{17}=\dfrac{132}{68}$ Effectuer les calculs suivants, et donner le résultat sous forme de fractions irréductibles.

$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}$ $=$ $\cdots$ $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{7}$ $=$ $\dfrac{3\times5}{4\times7}$ $=$ $\dfrac{15}{28}$. $\dfrac{-11}{3}\times\dfrac{5}{4}=\cdots$ $\dfrac{-11}{3}\times\dfrac{5}{4}$ $=$ $\dfrac{-11\times5}{3\times4}$ $=$ $-\dfrac{55}{12}$. $\dfrac{7}{33}\times\dfrac{6}{4}=\cdots$ $\dfrac{7}{33}\times\dfrac{6}{4}=\dfrac{7\times6}{33\times4}$ $=$ $\dfrac{7\times2\times3}{3\times11\times2\times2}$ $=$ $\dfrac{7\times\textcolor{red}{2}\times\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{3}\times11\times\textcolor{red}{2}\times2}$ $=$ $\dfrac{7}{11\times2}$ $=$ $\dfrac{7}{22}$. $\dfrac{25}{-75}\times\dfrac{3}{12}=\cdots$ $\dfrac{25}{-75}\times\dfrac{3}{12}=$ $\dfrac{25\times3}{-75\times12}$ $=$ $\dfrac{5\times5\times3}{-5\times5\times3\times3\times4}$ $=$ $-\dfrac{1}{3\times4}$ $=$ $-\dfrac{1}{12}$. $\dfrac{-15}{49}\times\dfrac{14}{-3}=\cdots$ $\dfrac{-15}{49}\times\dfrac{14}{-3}=$ $\dfrac{-3\times5\times2\times7}{-7\times7\times3}$ $=$ $\dfrac{5\times2}{7}$ $=$ $\dfrac{10}{7}$. $\dfrac{9}{18}\times\dfrac{1\,005}{2\,010}=\cdots$ $\dfrac{9}{18}\times\dfrac{1\,005}{2\,010}$ $=$ $\dfrac{9\times1\,005}{2\times9\times2\times1\,005}$ $=$ $\dfrac{1}{4}$. Effectuer les calculs suivants et écrire les résultats sous forme de fractions irréductibles.

$\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}=\cdots$ $\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}=$ $\dfrac{2+7}{3}$ $=$ $\dfrac{9}{3}$ $=$ $3$. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}=\cdots$ $\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{3}=$ $\dfrac{3}{6}+\dfrac{8}{6}$ $=$ $\dfrac{11}{6}$. $\dfrac{-5}{3}+\dfrac{7}{6}=\cdots$ $\dfrac{-5}{3}+\dfrac{7}{6}$ $=$ $-\dfrac{10}{6}+\dfrac{7}{6}$ $=$ $-\dfrac{3}{6}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$. $\dfrac{5}{7}-\dfrac{4}{3}=\cdots$ $\dfrac{5}{7}-\dfrac{4}{3}=$ $\dfrac{15}{21}-\dfrac{28}{21}$ $=$ $\dfrac{-13}{21}$. $5-\dfrac{4}{11}=\cdots$ $5-\dfrac{4}{11}=$ $\dfrac{5}{1}-\dfrac{4}{11}$ $=$ $\dfrac{55}{11}-\dfrac{4}{11}$ $=$ $\dfrac{51}{11}$. $\dfrac{-6}{8}+\dfrac{3}{-12}=\cdots$ $\dfrac{-6}{8}+\dfrac{3}{-12}=$ $-\dfrac{6\times3}{8\times3}-\dfrac{3\times2}{12\times2}$ $-\dfrac{18+6}{24}$ $=$ $-\dfrac{24}{24}$ $=$ $-1$. $A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{2}$
$A$ $=$ $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{2}$
$=$ $\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}$
$=$ $\dfrac{10}{15}-\dfrac{9}{15}$
$=$ $\dfrac{1}{15}$.
$B=3-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}+6\times\dfrac{4}{3}$
$B$ $=$ $3-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}+6\times\dfrac{4}{3}$
$=$ $3-\dfrac{3}{10}+8$
$=$ $11-\dfrac{3}{10}$
$=$ $\dfrac{11}{1}-\dfrac{3}{10}$
$=$ $\dfrac{110}{10}-\dfrac{3}{10}$
$=$ $\dfrac{107}{10}$.
$C=-\dfrac{2}{7}+3\times\left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}\right)$
$C$ $=$ $-\dfrac{2}{7}+3\times\left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}\right)$
$=$ $-\dfrac{2}{7}+3\times\left(\dfrac{8}{6}+\dfrac{3}{6}\right)$
$=$ $-\dfrac{2}{7}+3\times\dfrac{11}{6}$
$=$ $-\dfrac{2}{7}+\dfrac{11}{2}$
$=$ $-\dfrac{4}{14}+\dfrac{77}{14}$
$=$ $\dfrac{73}{14}$.
$D=\dfrac{3}{4}\times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{4}{8}\times\dfrac{2}{6}\right)$
$D$ $=$ $\dfrac{3}{4}\times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{4}{8}\times\dfrac{2}{6}\right)$
$=$ $\dfrac{3}{4}\times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{6}\right)$
$=$ $\dfrac{3}{4}\times\left(\dfrac{30}{42}-\dfrac{7}{42}\right)$
$=$ $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{23}{42}$
$=$ $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{23}{3\times14}$
$=$ $\dfrac{23}{4\times14}$
$=$ $\dfrac{23}{56}$.
Résoudre les équations suivantes (c'est-à-dire trouver la valeur de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie).

$\dfrac{x}{2}=3$ 8$\dfrac{x}{2}=3$
ssi 3$x=3\times2$
ssi 3$x=6$.
L'équation admet pour une unique solution $6$.
$\dfrac{2x}{3}=5$ 8$\dfrac{2x}{3}=5$
ssi 3$2x=5\times3$
ssi 3$2x=15$
ssi 3$x=\dfrac{15}{2}$.
L'équation admet pour une unique solution $\dfrac{15}{2}$.
$-\dfrac{7y}{11}=-\dfrac{3}{5}$ 8$-\dfrac{7y}{11}=-\dfrac{3}{5}$

ssi 3$\dfrac{7y}{11}=\dfrac{3}{5}$

ssi 3$7y=\dfrac{3}{5}\times11$

ssi 3$7y=\dfrac{33}{5}$

ssi 3$y=\dfrac{\frac{33}{5}}{7}$

ssi 3$y=\dfrac{33}{5}\times\dfrac{1}{7}$

ssi 3$y=\dfrac{33}{35}$.
L'équation admet pour une unique solution $\dfrac{33}{35}$.
$\dfrac{3}{t}=\dfrac{4}{9}$ 8$\dfrac{3}{t}=\dfrac{4}{9}$

ssi 3$3=\dfrac{4}{9}\times t$

ssi 3$\dfrac{4}{9} t=3$

ssi 3$t=3\times\dfrac{9}{4} $

ssi 3$t=\dfrac{27}{4} $.
L'équation admet pour une unique solution $\dfrac{27}{4}$. Les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalités. Compléter les cases vides.
$4$ $6$
$12$ $33$ $7$
En observant la première colonne, on remarque que pour passer de la première ligne à la deuxième on multplie par $3$. C'est-à-dire que pour passer de la deuxième à la première on divise par $3$.
$4$ $6$ $11$ $\frac{7}{3}$
$12$ $18$ $33$ $7$
$23$ $46$
$5$ $11$ $7$
En observant la deuxième colonne, on remarque que pour passer de la deuxième ligne à la première on multplie par $\dfrac{23}{11}$. C'est-à-dire que pour passer de la première à la deuxième on multiplie par $\dfrac{11}{23}$.
$\frac{115}{11}$ $23$ $46$ $\frac{161}{11}$
$5$ $11$ $22$ $7$
Écrire sous la forme $a^n$ où $a$ est un nombre réel et $n$ un entier relatif.

$5^2\times5^4$ $5^2\times5^4$ $=$ $5^{2+4}$ $=$ $5^6$. $6^5\times6^{-8}$ $6^5\times6^{-8}$ $=$ $6^{5-8}$ $=$ $6^{-3}$. $3^4\times5^4$ $3^4\times5^4$ $=$ $(3\times 5)^4$ $=$ $15^4$. $2,5^{-7}\times4,2^{-7}$ $2,5^{-7}\times4,2^{-7}$ $=$ $(2,5\times 4,2)^{-7}$ $=$ $10,5^{-7}$. $-4\times(-4)^{-5}$ $-4\times(-4)^{-5}$ $=$ $(-4)^1\times(-4)^{-5}$ $=$ $(-4)^{1-5}$ $=$ $(-4)^{-4}$. $7^{-5}\times7$ $7^{-5}\times7$ $=$ $7^{-5}\times 7^1$ $=$ $7^{-5+1}$ $=$ $7^{-4}$. $(-2)^{-3}\times(-2)^5$ $(-2)^{-3}\times(-2)^5$ $=$ $(-2)^{-3+5}$ $=$ $2^{2}$. $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-5}$ $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-5}$ $=$ $\left( \dfrac{2}{3} \right)^{-3-5}$ $=$ $\left( \dfrac{2}{3} \right)^{-8}$. Même consigne

$\dfrac{3^8}{3^{-4}}$ $\dfrac{3^8}{3^{-4}}$ $=$ $3^{8-(-4)}$ $=$ $3^{12}$. $\dfrac{6^9}{2^5\times3^5}$ $\dfrac{6^9}{2^5\times3^5}$ $=$ $\dfrac{6^9}{6^5}$ $=$ $6^{9-5} $ $=$ $6^4$. $\dfrac{4^6}{4^2}$ $\dfrac{4^6}{4^2}$ $=$ $4^{6-2}$ $=$ $4^4$ $=$ $(2^2)^4$ $=$ $2^{2\times4}$ $=$ $2^8$. $\dfrac{(-9)^4}{3^4}$ $\dfrac{(-9)^4}{3^4}$ $=$ $\dfrac{ 9^4 }{(3^2)^2}$ $=$ $\dfrac{ 9^4 }{9^2}$ $=$ $9^2$. $\dfrac{3,2^{-5}}{3,2^{-2}}$ $\dfrac{3,2^{-5}}{3,2^{-2}}$ $=$ $3,2^{-5-(-2)}$ $=$ $3,2^{-3}$. Écrire sous la forme d'une seule puissance.

$A=8^2\times8^{-3}\times8^7$ $A=8^2\times8^{-3}\times8^7$ $=$ $8^{2-3+7}$ $=$ $8^{6}$ $=$ $(2^3)^6$ $=$ $2^{18}$. $B=11^{-8}\times\dfrac{11^7}{11^{-4}}$ $B=11^{-8}\times\dfrac{11^7}{11^{-4}}$ $=$ $11^{-8+7-(-4)}$ $=$ $11^{3}$. $C=\dfrac{(-3)^6\times(-3)^{-8}}{(-3)^{-7}}$ $C=\dfrac{(-3)^6\times(-3)^{-8}}{(-3)^{-7}}$ $=$ $(-3)^{6-8-(-7)}$ $=$ $(-3)^5$. Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.

$A=3\times\left(4x+\dfrac{4}{7}\right)$
$A$ $=$ $3\times\left(4x+\dfrac{4}{7}\right)$
$=$ $3\times(4x)+3\times\dfrac{4}{7}$
$=$ $12x+\dfrac{12}{7}$.
$B=x(4-3x)$
$B$ $=$ $x(4-3x)$
$=$ $4x-3x^2$
$=$ $-3x^2+4x$.
$C=(2y-1)(4y+5)$
$C$ $=$ $(2y-1)(4y+5)$
$=$ $8y^2+10y-4y-5$
$=$ $8y^2+6y-5$.
$D=5x+(3-2x)(3x+2)-7x^2$
$D$ $=$ $5x+(3-2x)(3x+2)-7x^2$
$=$ $5x+9x+6-6x^2-4x-7x^2$
$=$ $-13x^2+10x+6$.
$E=(2t-1)(3-2t)(t+4)$
$E$ $=$ $(2t-1)(3-2t)(t+4)$
$=$ $(2t-1)(3t+12-2t^2-8t)$
$=$ $(2t-1)(-2t^2-5t+12)$
$=$ $-4t^3-10t^2+24t+2t^2+5t-12$
$=$ $-4t^3-8t^2+29t-12$.
Trouver le facteur commun puis factoriser les expressions suivantes.

$A=(x+3)(4x-3)+(x+3)(2x-2)$
$A$ $=$ $\textcolor{red}{(x+3)}(4x-3)+\textcolor{red}{(x+3)}(2x-2)$
$=$ $(x+3)((4x-3)+(2x-2))$
$=$ $(x+3)(4x-3+2x-2)$
$=$ $(x+3)(6x-5)$.
$B=(2x-5)(x+2)-(2x-5)(4-3x)$
$B$ $=$ $\textcolor{red}{(2x-5)}(x+2)-\textcolor{red}{(2x-5)}(4-3x)$
$=$ $(2x-5)((x+2)-(4-3x))$
$=$ $(2x-5)(x+2-4+3x)$
$=$ $(2x-5)(4x-2)$.
$C=(5-t)(3t+4)+(3t-2)(5-t)-(5-t)(4-3t)$
$C$ $=$ $\textcolor{red}{(5-t)}(3t+4)+(3t-2)\textcolor{red}{(5-t)}-\textcolor{red}{(5-t)}(4-3t)$
$=$ $(5-t)( (3t+4)+(3t-2)-(4-3t))$
$=$ $(5-t)( 3t+4+3t-2-4+3t)$
$=$ $(5-t)( 9t-2)$.
$D=(1-x)(2x-7)+(x-1)(4x+3)$
$D$ $=$ $(1-x)(2x-7)+(x-1)(4x+3)$
$=$ $(1-x)(2x-7)-(1-x)(4x+3)$
$=$ $\textcolor{red}{(1-x)}(2x-7)-\textcolor{red}{(1-x)}(4x+3)$
$=$ $(1-x)((2x-7)-(4x+3))$
$=$ $(1-x)(2x-7-4x-3)$
$=$ $(1-x)(-2x-10)$.
$E=(3x-4)(2x+7)-(4x+14)(x+9)$
$E$ $=$ $(3x-4)(2x+7)-(4x+14)(x+9)$
$=$ $(3x-4)(2x+7)-2(2x+7)(x+9)$
$=$ $(3x-4)\textcolor{red}{(2x+7)}-2\textcolor{red}{(2x+7)}(x+9)$
$=$ $(2x+7)((3x-4)-2(x+9))$
$=$ $(2x+7)(3x-4-2x-18)$
$=$ $(2x+7)(x-22)$.
Développer les expressions suivantes.

$A=(x+1)^2$ $A=(x+1)^2$ $=$ $x^2+2\times x\times1+1^2$ $=$ $x^2+2x+1$. $B=(2t-3)^2$ $B=(2t-3)^2$ $=$ $(2t)^2-2\times2t\times3+3^2$ $=$ $4t^2-12t+9$. $C=(5y-6)(5y+6)$ $C=(5y-6)(5y+6)$ $=$ $(5y)^2-6^2$ $=$ $25y^2-36$. $D=2x^2+(2x-5)^2+(3x-7)(x+5)$
$D$ $=$ $2x^2+(2x-5)^2+(3x-7)(x+5)$
$=$ $2x^2+\textcolor{red}{(2x-5)^2}+(3x-7)(x+5)$
$=$ $2x^2+\textcolor{red}{4x^2-20x+25}+(3x-7)(x+5)$
$=$ $2x^2+\textcolor{red}{4x^2-20x+25}+3x^2+15x-7x-35$
$=$ $2x^2+4x^2-20x+25+3x^2+15x-7x-35$
$=$ $2x^2+4x^2+3x^2-20x+15x-7x-35+25$
$=$ $9x^2-12x-10$.
Factoriser les expressions suivantes.

$A=x^2-1$ $A=x^2-1$ $=$ $x^2-1^2$ $=$ $(x-1)(x+1)$. $B=t^2-9$ $B=t^2-9$ $=$ $t^2-3^2$ $=$ $(t-3)(t+3)$. $C=4x^2-1$ $C=4x^2-1$ $=$ $(2x)^2-1^2$ $=$ $(2x-1)(2x+1)$. $D=36-9y^2$ $D=36-9y^2$ $=$ $6^2-(3y)^2$ $=$ $(6-3y)(6+3y)$. $E=3x^2-1$ $E=3x^2-1$ $=$ $(\sqrt{3}x)^2-1^2$ $=$ $(\sqrt{3}x-1)(\sqrt{3}x+1)$. $F=7-2y^2$ $F=7-2y^2$ $=$ $\sqrt{7}^2-(\sqrt{2}y)^2$ $=$ $(\sqrt{7}-\sqrt{2}y)(\sqrt{7}+\sqrt{2}y)$. Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs, $b$ positif le plus petit possible.

$a=\sqrt{9}$ $a=\sqrt{9}$ $=$ $3$. $b=\sqrt{12}$ $b=\sqrt{12}$ $=$ $\sqrt{4\times3}$ $=$ $\sqrt{4}\times\sqrt{3}$ $=$ $2\sqrt{3}$. $c=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}$ $c=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}$ $=$ $3\sqrt{3}$. $d=2\sqrt{2}-\sqrt{18}$
$d$ $=$ $2\sqrt{2}-\sqrt{18}$
$=$ $2\sqrt{2}-\sqrt{9\times2}$
$=$ $2\sqrt{2}-\sqrt{9}\times\sqrt{2}$
$=$ $2\sqrt{2}-3\sqrt{2}$
$=$ $-\sqrt{2}$.
$e=\sqrt{45}+3\sqrt{20}-3\sqrt{5}$
$e$ $=$ $\sqrt{45}+3\sqrt{20}-3\sqrt{5}$
$=$ $\sqrt{9\times 5}+3\sqrt{4\times5}-3\sqrt{5}$
$=$ $\sqrt{9}\times\sqrt{5}+3\sqrt{4}\times\sqrt{5}-3\sqrt{5}$
$=$ $3\sqrt{5}+3\times2\sqrt{5}-3\sqrt{5}$
$=$ $3\sqrt{5}+6\sqrt{5}-3\sqrt{5}$
$=$ $6\sqrt{5}$.
Écrire les nombres suivants sous la forme $a+b\sqrt{c}$ avec $a$, $b$ et $c$ des entiers et $c$ le plus petit possible.

$a=(1+\sqrt{2})^2$
$a$ $=$ $(1+\sqrt{2})^2$
$=$ $1^2+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$
$=$ $1+2\sqrt{2}+2$
$=$ $3+2\sqrt{2}$.
$b=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$
$b$ $=$ $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$
$=$ $(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$
$=$ $3-2\sqrt{3\times2}+2$
$=$ $5-2\sqrt{6}$
$c=(2+3\sqrt{5})^2$
$c$ $=$ $(2+3\sqrt{5})^2$
$=$ $2^2+2\times2\times3\sqrt{5}+(3\sqrt{5})^2$
$=$ $4+12\sqrt{5}+3^2\times\sqrt{5}^2$
$=$ $4+12\sqrt{5}+9\times5$
$=$ $4+12\sqrt{5}+45$
$=$ $49+12\sqrt{5}$.
$d=(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})$
$d$ $=$ $(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})$
$d$ $=$ $(\sqrt{5})^2-(2\sqrt{3})^2$
$d$ $=$ $5-2^2\times\sqrt{3}^2$
$d$ $=$ $5-4\times3$
$d$ $=$ $5-12$
$d$ $=$ $-7$.
Résoudre les équations du premier degré suivantes.

$2x+3=5$
$2x+3$ $=$ $5$
$2x$ $=$ $5-3$
$2x$ $=$ $2$
$x$ $=$ $\dfrac{2}{2}$
$x$ $=$ $1$.
L'équation admet une unique solution $x=1$. $2x-7=3x+1$
$2x-7$ $=$ $3x+1$
$2x-3x$ $=$ $1+7$
$-x$ $=$ $8$
$x$ $=$ $-8$.
L'équation admet une unique solution $x=-8$. $4-2t=\dfrac{3}{5}-7t$
$4-2t$ $=$ $\dfrac{3}{5}-7t$
$-2t+7t$ $=$ $\dfrac{3}{5}-4$
$5t$ $=$ $\dfrac{3}{5}-\dfrac{20}{5}$
$5t$ $=$ $-\dfrac{17}{5}$
$t$ $=$ $-\dfrac{17}{5}\times\dfrac{1}{5}$
$t$ $=$ $-\dfrac{17}{25}$.
L'équation admet une unique solution $t=-\dfrac{17}{25}$. $5\times(2t-3)=4\times(4-3t)+5t$
$5\times(2t-3)$ $=$ $4\times(4-3t)+5t$
$10t-15$ $=$ $16-12t+5t$
$10t-15$ $=$ $16-7t$
$10t+7t$ $=$ $16+15$
$17t$ $=$ $31$
$t$ $=$ $\dfrac{31}{17}$.
L'équation admet une unique solution $t=\dfrac{31}{17}$. $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{5-4x}{3}$
$\dfrac{x-3}{2}$ $=$ $\dfrac{5-4x}{3}$
$\dfrac{x-3}{\textcolor{red}{2}}$ $=$ $\dfrac{5-4x}{\textcolor{blue}{3}}$
$\textcolor{blue}{3}(x-3)$ $=$ $\textcolor{red}{2}(5-4x)$
$3x-9$ $=$ $10-8x$
$3x+8x$ $=$ $10+9$
$11x$ $=$ $19$
$x$ $=$ $\dfrac{19}{11}$.
L'équation admet une unique solution $x=\dfrac{19}{11}$. Résoudre les équations suivantes.

$(x+3)(2x-7)=0$ D'après la règle du produit nul $(x+3)(2x-7)=0$ si et seulement si :

$x+3=0$ ou $2x-7=0$
$x=-3$ ou $2x=7$
$x=\dfrac{7}{2}$.
L'équation admet donc deux solutions : $x=-3$ et $x=\dfrac{7}{2}$. $(2t-1)(5-3t)=0$ D'après la règle du produit nul $(x+3)(2x-7)=0$ si et seulement si :

$2t-1=0$ ou $5-3t=0$
$2t=1$ ou $-3t=-5$
$t=\dfrac{1}{2}$ ou $t=\dfrac{-5}{-3}=\dfrac{5}{3}$.
L'équation admet donc deux solutions : $t=\dfrac{1}{2}$ et $t=\dfrac{5}{3}$. $\left(\dfrac{2}{3}x+3\right)(2-3x)=0$ D'après la règle du produit nul $\left(\dfrac{2}{3}x+3\right)(2-3x)=0$ si et seulement si :

$\dfrac{2}{3}x+3=0$ ou $2-3x=0$
$\dfrac{2}{3}x=-3$ ou $-3x=-2$
$x=-3\times\dfrac{3}{2}$ ou $x=\dfrac{-2}{-3}$
$x=-\dfrac{9}{2}$ ou $x=\dfrac{2}{3}$
L'équation admet donc deux solutions : $x=-\dfrac{9}{2}$ et $x=\dfrac{2}{3}$. $\dfrac{1467}{435}(3x+2)(x+5-6x)=0$ D'après la règle du produit nul $\dfrac{1467}{435}(3x+2)(x+5-6x)=0$ si et seulement si $(3x+2)(x+5-6x)=0$ c'est-à-dire :

$3x+2=0$ ou $x+5-6x$
$3x=-2$ ou $-5x+5=0$
$x=-\dfrac{2}{3}$ ou $-5x=-5$
$x=\dfrac{-5}{-5}$ $=$ $1$.
L'équation admet deux solutions : $x=-\dfrac{2}{3}$ et $x=1$. Résoudre les inéquations suivantes :

$3x>4$
$3x$ $>$ $4$
$x$ $>$ $\dfrac{4}{3}$.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle $\left]\dfrac{4}{3}\, ; +\infty \right[$. $-4x\geq 9$
$-4x$ $\geq$ $9$
$x$ $\leq$ $\dfrac{9}{-4}$ car $-4<0$
$x$ $\leq$ $-\dfrac{9}{4}$.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle $\left] -\infty\,; -\dfrac{9}{4}\right]$. $2x+4\leq 7x+8$
$2x+4$ $\leq$ $7x+8$
$2x-7x$ $\leq $ $8-4$
$-5x$ $\leq $ $4$
$x$ $\geq $ $-\dfrac{4}{5}$ car $-5<0$.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle $\left[-\dfrac{4}{5}\, ; +\infty \right[$. $5-3x<4x+9$
$5-3x$ $<$ $4x+9$
$-3x-4x$ $< $ $9-5$
$-7x$ $< $ $4$
$x$ $> $ $-\dfrac{4}{7}$ car $-7<0$.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle $\left]-\dfrac{4}{7}\, ; +\infty \right[$. $3\left(2+\dfrac{5}{3}x\right)-7\leq 9x+1$
$3\left(2+\dfrac{5}{3}x\right)-7$ $\leq$ $9x+1$
$6+5x-7$ $\leq$ $9x+1$
$5x-1$ $\leq$ $9x+1$
$5x-9x$ $\leq$ $1+1$
$-4x$ $\leq$ $2$
$x$ $\geq$ $\dfrac{2}{-4}$ car $-4<0$.
$x$ $\geq$ $-\dfrac{1}{2}$.
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}\, ; +\infty \right[$.