Compléments Aires et volumes Aires de figures planes

Aire d'un triangle

$A$ $=$ $\dfrac{b\times h}{2}$

Aire d'un trapèze

$A=$ $\dfrac{(b+B)\times h}{2}$

Aire d'un parallélogramme

$A=$ $b\times h$

Aire d'un disque

$A=$ $\pi r^2$

Volume de solides de l'espace

Volume d'un parallélépipède rectangle (pavé droit)

$V=$ $a\times b \times c$

Volume d'un prisme

$V=$ $A_B\times h$

avec $A_B$ l'aire de la base

Volume d'une pyramide

$V=$ $\dfrac{1}{3}A_B \times h$

avec $A_B$ l'aire de la base et $h$ la hauteur associée

Volume d'un cylindre

$V=$ $\pi r^2 h$

Volume d'un cône

$V=$ $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

Volume d'une boule

$V=$ $\dfrac{4}{3}\pi r^3$

Compléments sur les triangles Droites remarquables dans les triangles
Une médiane dans un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Dans un triangle les trois médianes sont toujours concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle.

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants aux extrémités de ce segment.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle circonscrit au triangle.

Quand le triangle a trois angles aigus le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle.
Une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.

Quand le triangle a trois angles aigus l'orthocentre est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.
La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet qui le partage en deux secteurs angulaires superposables.

La bissectrice d'un secteur angulaire repose sur l'axe de symétrie de ce secteur angulaire. La bissectrice repose sur l'axe de symétrie car celle-ci est une demi-droite et non toute une droite.
Tout point de la bissectrice d'un angle est à égale distance des côtés de cet angle.

Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle tangent aux trois côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle. Compléments sur la trigonométrie
Soit $\alpha$ la mesure d'un angle d'un triangle rectangle distinct de l'angle droit.
On note $\cos^2(\alpha)$ le nombre réel $(\cos(\alpha))^2$ et $\sin^2(\alpha)$ le nombre réel $(\sin(\alpha))^2$.
Soit $\alpha$ la mesure d'un angle d'un triangle rectangle distinct de l'angle droit.
On a alors : $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)$ $=$ $1.$ Preuve
On considère le triangle rectangle ci-dessous :

On a alors : $\cos(\alpha)$ $=$ $\dfrac{AB}{BC}$ et $\sin(\alpha)$ $=$ $\dfrac{AC}{BC}$.

Ainsi :

$\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)$	$=$	$\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2+\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2$
	$=$	$\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2}$
	$=$	$\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}$
	$=$	$\dfrac{BC^2}{BC^2}$	d'après le théorème de Pythagore
	$=$	$1$.

Projeté orthogonal
Soit $A$ un point et $d$ une droite du plan.
Le projeté orthogonal de $A$ sur $d$ est l'unique point $H$ de $d$ tel que les droites $(AH)$ et $d$ soient perpendiculaires.

Le projeté orthogonal d'un point $A$ sur une droite $d$ est le point de $d$ le plus proche de $A$. Preuve
On raisonne par l'absurde.
On suppose donc qu'il existe un point $K$ de $d$ qui est plus proche de $A$ que ne l'est le point $H$.

C'est-à-dire que l'on suppose que $KA$ $<$ $HA$.
La fonction carrée étant croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ on a : $KA^2 < HA^2$.
Or, le triangle $AKH$ est rectangle en $H$ par définition du projeté orthogonal, ainsi on obtient :

$KA^2$	$<$	$HA^2$
$KH^2+HA^2$	$<$	$HA^2$
$KH^2$	$<$	$HA^2-HA^2$
$KH^2$	$<$	$0$.

Or, un carré est toujours positif, ainsi nous aboutissons à une contradiction, et nous pouvons affirmer que le projeté orthogonal d'un point sur une droite est bien le point de la droite le plus proche de ce point.