Études de signes Rappels Les deux propriétés suivantes, énoncées dans le chapitre 2 (fonctions affines), nous serons utiles dans ce cours.
Soient $a$ et $b$ deux réels, $a\neq0$, et soit $f$ la fonction affine définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.

Il existe alors un unique réel $x$ tel que $f(x)=0$ et il vaut $x=-\dfrac{b}{a}$. Dans ce chapitre la valeur qui annule une expression affine de la forme $ax+b$ pourra être appelée « valeur charnière ».
Soient $a$ et $b$ deux réels, $a\neq0$, et soit $f$ la fonction affine définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.
$\bullet$ Si $a>0$ alors : $f(x)>0$ si et seulement si $x> -\dfrac{b}{a}$.

$x$ $-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$ $f(x)$ $-$ 0 $+$

$\bullet$ Si $a < 0$ alors : $f(x)>0$ si et seulement si $x< -\dfrac{b}{a}$.

$x$ $-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ 0 $-$

Dresser le tableau de signes de la fonction affine $g$, définie pour tout réel $x$ par $g(x)=3-6x$. La fonction affine $g$ s'annule en $\dfrac{-3}{-6}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.
Son tableau de signe est :

$x$ $-\infty$ $\dfrac{1}{2}$ $+\infty$ $g(x)$ $+$ 0 $-$

Signe d'un polynôme du second degré
Une expression algébrique $A(x)$ est dîte du second degré s'il existe trois nombres réels $a$, $b$ et $c$, avec $a\neq0$, tels que : $A(x)$ $=$ $ax^2+bx+c$. On peut également dire que $A$ est un polynôme du second de degré en $x$. Les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par $f(x)$ $=$ $-5x^2-3x+4$ et $g(x)=(2-x)(3+x)$ sont des polynômes du second degré.
C'est en effet évident pour $f$. Pour $g$ il suffit de développer son expression :
$g(x)$ $=$ $(2-x)(3+x)$ $=$ $6+2x-3x-x^2$ $=$ $-x^2-x+6$.
Soit un polynôme du second degré $p$ dont on connaît la forme factorisée : $p(x)=(ax+b)(cx+d)$, avec $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels, $a$ et $c$ non nuls.
Pour déterminer le signe du polynôme $p$ sur $\mathbb{R}$, il suffit de déterminer le signe de chacun de ses deux facteurs et d'appliquer la régle des signes. Comme nous allons le voir dans l'exemple ci-dessous, l'utilisation d'un tableau de signes facilite grandement la rédaction. Par ailleurs, le signe de chacun des facteurs s'obtient en utilisant la propriété n°2 et en déterminant donc le signe des coefficients directeurs. Soit le polynôme $q$ défini pour tout réel $x$ par $q(x) = (3x-4)(7+x)$.
Pour dresser le tableau de signes de $q$ il nous faut tout d'abord déterminer les valeurs de $x$ qui annulent chacun de ses facteurs.

Valeurs charnières

$3x-4$	$=$	$0$
$3x$	$=$	$4$
$x$	$=$	$\dfrac{4}{3}$.

$7+x$	$=$	$0$
$x$	$=$	$-7$.

On peut trouver directement les valeurs charnières en utilisant la formule « $-\dfrac{b}{a}$ » rappelée dans la propriété n°1.

On peut maintenant dresser le tableau de signes de $q$ en utilisant les résultats rappelés dans le premier paragraphe, notamment la propriété n°2. Il nous suffit donc de déterminer le signe des coefficients directeurs de chaque facteur de $q$.

$x$	$-\infty$		$-7$		$\dfrac{4}{3}$		$+\infty$
$3x-4$		$-$		$-$	$0$	$+$
$7+x$		$-$	0	$+$		$+$
$q(x)=(3x-4)(7+x)$		$+$	0	$-$	0	$+$

Explications

La première ligne s'obtient à partir de la recherche des valeurs charnières.
Les deuxièmes et troisièmes lignes s'obtiennent en étudiant le signe des expressions affines $3x+4$ et $7+x$ à l'aide de la propriété n°2 (signe du coefficient directeur). Ici les coefficients directeurs valent $3$ et $1$. Ils sont tous deux positifs ainsi chaque facteur est une fonction affine croissante qui est dans un premier temps négative puis positive après s'être annulée en sa valeur charnière.
Pour la dernière ligne : lorsqu'on veut trouver le signe à mettre dans une case de la dernière ligne, on regarde les signes des cases au-dessus et on applique la règle des signes pour un produit.

Interprétation du tableau
Pour interpréter le signe de chacune des cases de la dernière ligne, on doit faire le lien avec la première ligne.

Pour tout $x$ $\in$ $]-\infty\,;\,-7]$ on a $q(x)$ $\geq 0$.

$x$	$-\infty$		$-7$		$\dfrac{4}{3}$		$+\infty$
$3x-4$		$-$		$-$	$0$	$+$
$7+x$		$-$	0	$+$		$+$
$q(x)=(3x-4)(7+x)$		$+$	0	$-$	0	$+$

Pour tout $x$ $\in$ $]-\infty\,;\,-7[$ on a $q(x)$ $ > 0$.
Pour tout $x$ $\in$ $\left]-7\,;\, \dfrac{4}{3}\right[$ on a $q(x)$ $< 0$.

$x$	$-\infty$		$-7$		$\dfrac{4}{3}$		$+\infty$
$3x-4$		$-$		$-$	$0$	$+$
$7+x$		$-$	0	$+$		$+$
$q(x)=(3x-4)(7+x)$		$+$	0	$-$	0	$+$

Pour tout $x$ $\in$ $\left[-7\,;\, \dfrac{4}{3}\right]$ on a $q(x)$ $\leq 0$.
Pour tout $x$ $\in$ $\left[\dfrac{4}{3}\,;\, +\infty\right[$ on a $q(x)$ $\geq 0$.

$x$	$-\infty$		$-7$		$\dfrac{4}{3}$		$+\infty$
$3x-4$		$-$		$-$	$0$	$+$
$7+x$		$-$	0	$+$		$+$
$q(x)=(3x-4)(7+x)$		$+$	0	$-$	0	$+$

Pour tout $x$ $\in$ $\left]\dfrac{4}{3}\,;\, +\infty\right[$ on a $q(x)$ $> 0$.

Signe d'un quotient On étudie dans ce paragraphe le signe du quotient entre deux expressions affines.

C'est-à-dire que l'on cherchera à établir le signe d'expressions de la forme : $\dfrac{7x-4}{2x+5}$ ou $\dfrac{8-3x}{-x+9}$ etc.

La méthode sera ici quasiment identique puisque la règle des signes pour un quotient est la même que pour un produit.

Il faudra cependant faire attention au fait que la valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite. On cherche ici à étudier le signe de l'expression $f(x)=\dfrac{26-2x}{3+9x}$.
On détermine dans un premier temps les valeurs de $x$ qui annulent le numérateur est le dénominateur.

Valeur charnière

$26-2x$	$=$	$0$
$-2x$	$=$	$-26$
$x$	$=$	$\dfrac{-26}{-2}$
$x$	$=$	$13$.

Valeur interdite

$3+9x$	$=$	$0$
$9x$	$=$	$-3$
$x$	$=$	$\dfrac{-3}{9}$
$x$	$=$	$-\dfrac{1}{3}$.

On peut alors dresser le tableau de signes de $f$ en utilisant à nouveau la propriété n°2 :

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{1}{3}$		$13$		$+\infty$
$26-2x$		$+$		$+$	$0$	$-$
$3+9x$		$-$	0	$+$		$+$
$f(x)=\dfrac{26-2x}{3+9x}$		$-$		$+$	0	$-$

Explications

La première ligne s'obtient à partir de la recherche des valeurs charnières et interdites.
Les deuxièmes et troisièmes lignes s'obtiennent en étudiant le signe des expressions affines $26-2x$ et $3+9x$ à l'aide de la propriété n°2 (signe du coefficient directeur). Ici les coefficients directeurs valent $-2$ et $9$. Le premier étant négatif, la fonction affine correspondante est décroissante et les signes dans la ligne de $26-2x$ sont donc dans un premier temps positifs puis négatifs. Réciproquement, les signes dans la ligne de la fonction affine croissante $3+9x$ sont dans un premier temps négatifs puis positifs.
Pour la dernière ligne : lorsqu'on veut trouver le signe à mettre dans une case de la dernière ligne, on regarde les signes des cases au-dessus et on applique la règle des signes pour un quotient. On n'oubliera pas de mettre une double barre dans la dernière ligne au niveau de la valeur interdite.

Conclusion

Pour tout $x\in \left]-\infty \,;\, -\dfrac{1}{3} \right[$ on a $f(x)$ $ < 0$.
Pour tout $x\in \left]-\dfrac{1}{3} \,;\, 13\right[$ on a $f(x)$ $ > 0$.
Pour tout $x\in \left]-\dfrac{1}{3} \,;\, 13 \right]$ on a $f(x)$ $ \geq 0$.
Pour tout $x\in \left]13 \,;\, +\infty\right[$ on a $f(x)$ $ < 0$.
Pour tout $x\in \left[13 \,;\, +\infty \right[$ on a $f(x)$ $ \leq 0$.