2nde ∼ Péparation du devoir commun mai 2023 Partie A
On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée dans le repère ci-dessous.
On définit de plus la fonction affine $g$, pour tout réel $x$, par $g(x)=-2x-5$.
Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont notées respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  1. Tracer dans le repère la courbe représentative de la fonction $g$.
    2. Pour pouvoir tracer la courbe représentative de la fonction affine $g$ il nous suffit d'avoir deux points puisque celle-ci est une droite.
    On calcule alors deux images par $g$ :
    $g(0)=-2\times0-5$ $=$ $-5$ et $g(-3) = -2\times(-3)-5$ $=$ $1$.
    La droite représentant $g$ passe donc par les points $(0\,;-5)$ et $(-3\,;1)$.
  2. Déterminer graphiquement l'image de $-4$ et de $-\dfrac{1}{2}$ par la fonction $f$.
    3. Graphiquement on a que l'image de $-4$ par $f$ est $3$.
    L'image de $-\dfrac{1}{2}$ est proche de $-2,3$.
  3. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=1$.
    4. On lit les abscisses des points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et la droite d'équation $y=1$.
    On trouve alors que l'équation $f(x)=1$ admet deux solutions dont les valeurs approchées sont : $x\approx -4,7$ et $x\approx -1,3$.
  4. Tout nombre de l'intervalle $[-4;-2]$ est-il solution de l'inéquation $f(x)>3$ ? La réponse sera argumentée à l'aide du graphique.
    5. On voit sur le graphique que $f(-4)=3$ et $f(-2)=3$. Ainsi, $f(x)$ n'est pas strictement supérieur à $3$ sur $[-4\,;-2]$.
  5. Déterminer les coordonnées des points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    6. Graphiquement, nous voyons que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent aux points $(-4\,;3)$ et $(0\,;-5)$.
  6. Donner les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $[-6\,;\,0,2]$.
    7. On se base ici sur le graphique de la correction de la question précédente.

    Sur l'intervalle $[-6\,;-4]$ la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\mathcal{C}_f$.
    Sur l'intervalle $[-4\,;0]$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
    Sur l'intervalle $[0\,;0,2]$ la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\mathcal{C}_f$.
Partie B
On admet que pour tout nombre réel $x$, $f(x)=-x^2-6x-5$.
  1. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=(-5-x)(x+1)$.
    2. Pour tout réel $x$ on a :
    $(-5-x)(x+1)$ $=$ $-5x-5-x^2-x$
    $=$ $-x^2-6x-5$
    $=$ $f(x)$.
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=4-(x+3)^2$.
    3. Pour tout réel $x$ on a :
    $4-(x+3)^2$ $=$ $4-(x^2+6x+9)$
    $=$ $4-x^2-6x-9$
    $=$ $-x^2-6x-5$
    $=$ $f(x)$.
  3. En choisissant l'écriture la plus adaptée pour $f$ :
    1. résoudre $f(x)=0$,
      2. On utilise pour cette question la forme factorisée de $f$.
      $f(x)$ $=$ $0$
      $(-5-x)(x+1)$ $=$ $0$.
      Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. On a donc :
      $-5-x$ $=$ $0$
      $-x$ $=$ $5$
      $x$ $=$ $-5$.
      		ou
      $x+1$ $=$ $0$
      $x$ $=$ $-1$.
    2. résoudre $f(x)>0$,
      3. On utilise ici la forme factorisée de $f$ en dressant son tableau de signes.
      Nous avons vu à la question précédente pour quelles valeurs de $x$ chacun des facteurs de $f(x)$ s'annuler, on peut donc directement construire le tableau de signes de $f$.
      $x$ $-\infty$ $-5$ $-1$ $+\infty$ $-5-x$ $+$ 0 $-$ barre $-$ $x+1$ $-$ barre $-$ 0 $+$ $f(x)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$
      Les solutions de l'équation sont donc tous les nombres de l'intervalle $]-5\,;-1[$.
    3. déterminer la valeur maximale de $f(x)$.
      4. On utilise ici la forme canonique $f(x)=4-(x+3)^2$.
      Un carré étant toujours positif la différence $4-(x+3)^2$ est maximale lorsque $(x+3)^2$ est nul, c'est-à-dire lorsque $x=-3$.
      Ainsi la $f(x)$ est maximale pour $x=-3$ et le son maximum vaut $f(-3)=4$.
  1. Compléter le tableau de signes ci-dessous :
    $x$ $-\infty$ $\dfrac{1}{2}$ $\dots$ $+\infty$ $2x-1$ 0 barre $-x+3$ barre barre $(2x-1)(-x+3)$ barre barre
    2. On a : $-x+3=0$ ssi $x=3$.
    On peut alors compléter le tableau de signes.
    $x$ $-\infty$ $\dfrac{1}{2}$ $3$ $+\infty$ $2x-1$ $-$ 0 $+$ barre $+$ $-x+3$ $+$ barre $+$ 0 $-$ $(2x-1)(-x+3)$ $-$ 0 $+$ 0 $-$
  2. Résoudre l'inéquation : $(2x-1)(-x+3)\geq0$.
    3. À partir du tableau de la question précédente on trouve que les solutions de l'inéquation sont tous les nombres de l'intervalle : $$\left[\dfrac{1}{2}\,;3\right].$$
La liste des questions de cours à connaître est consultable ici.
  1. Donner le sens de variation de la fonction carrée sur $\mathbb{R}$.
    2. La fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.
  2. Donner la définition d'une fonction impaire.
    3. Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}$ inclus dans $\mathbb{R}$.
    La fonction $f$ est impaire, si pour tout $x\in\mathscr{D}$ on a $-x\in\mathscr{D}$, et $f(-x)=-f(x)$.
  3. Soient $A(x_A\,; y_A)$ et $B(x_B\,; y_B)$ deux points d'un repère orthogonal du plan. Donner la formule permettant de trouver les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
    4. $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix}$.
  4. Énoncer les trois identités remarquables.
    5. Pour tout réel $a$ et $b$ on a :
1 Partie A Dans un lycée, parmi les $900$ élèves possédant un smartphone, on s'intéresse à l'autonomie des appareils en fonction du système d'exploitation.
$70$ % des élèves possède un smartphone sous Humanoïde et les autres sous Cerise.
Parmi ceux possédant un smartphone sous Humanoïde, $40$ % affirme ne pas avoir une autonomie suffisante à la fin de la journée, alors qu'il y en a $243$ parmi ceux possédant un smartphone sous Cerise.
  1. Compléter le tableau ci-dessous représenant les effectifs des élèves dans ce lycée en fonction du système d'exploitation de leur smartphone ainsi que de l'autonomie de ce dernier :
    Nombre d'élèves ayant un smartphone sous Humanoïde Nombre d'élèves ayant un smartphone sous Cerise Total
    Nombre d'élèves ayant un problème d'autonomie
    Nombre d'élèves n'ayant pas de problème d'autonomie
    Total $900$
    2. Le nombre d'élèves possédant un smartphone sous Humanoïde est de : $900\times0,70 = 630$.
    Parmi ces $630$ élèves $40$ % affirme ne pas avoir une autonomie suffisante à la fin de la journée, c'est-à-dire que ceux-ci sont au nombre de $630\times0,4 = 252$.
    On peut alors compléter le tableau, en effectuant des soustractions et des additions pour trouver les cases encore manquantes.
    Nombre d'élèves ayant un smartphone sous Humanoïde Nombre d'élèves ayant un smartphone sous Cerise Total
    Nombre d'élèves ayant un problème d'autonomie $252$ $243$ $495$
    Nombre d'élèves n'ayant pas de problème d'autonomie $378$ $27$ $405$
    Total $630$ $270$ $900$
  2. On rencontre un élève de ce lycée au hasard, et on note $H$ et $A$ les évènements suivants :
    1. Déterminer la probabilité $P(H)$ que l'élève possède un smartphone sous Humanoïde.
      2. $P(H)=\dfrac{630}{900}=0,7$.
    2. Définir par une phrase les évènements $\overline{H}$, $H\cap A$ et $H\cup A$.
      3. $\overline{H}$ : « L'élève possède un smartphone qui n'est pas sous Humanoïde » ou encore « L'élève possède un smartphone qui est sous Cerise ».
      $H\cap A$ : « L'élève possède un smartphone qui est sous Humanoïde et celui-ci a un problème d'autonomie ».
      $H\cup A$ : « L'élève possède un smartphone qui est sous Humanoïde et/ou celui-ci a un problème d'autonomie ».
    3. Déterminer $P(H\cap A)$ et en déduire $P(H\cup A)$.
      4. $P(H\cap A) = \dfrac{252}{900}$ $=$ $0,28$.

      $P(H\cup A) = P(H)+P(A)-P(H\cap A)$ $=$ $0,7+\dfrac{495}{900}-0,28=0,97$.
    4. On croise un élève au hasard qui nous dit que son smartphone n'a pas une autonomie suffisante en fin de journée. Quelle est la probabilité que le système d'exploitation de ce dernier soit « Cerise » ?
      Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$.
      5. Il y a $495$ élèves qui ont un problème d'autonomie et parmi eux $243$ ont un smartphone sous « Cerise ». La probabilité cherchée est donc :

      $\dfrac{243}{495} = \dfrac{27}{55}\approx 0,491$.
1 Partie B Dans le pays auquel appartient le lycée précédent, la marque « Cerise » représente $20$ % du marché des smartphones. On rappelle que $30$ % des smartphones des élèves de cet étabissement scolaire sont sous « Cerise ».
Un élève de 2nde de ce lycée veut savoir si cet écart peut être dû au hasard. C'est-à-dire qu'il suppose que la probabilité qu'un élève possède un smartphone sous « Cerise » est de $0,2$. Il écrit un algorithme Python qui génère un échantillon de $900$ élèves et qui affiche le nombre d'entre eux qui possède un smartphone sous « Cerise ». from random import* cerise = 0 for i in range(0,900): p = random() if p < 0.2: cerise = cerise+1 print(cerise)
  1. Expliquer les instructions des lignes 6 à 8.
    2. Ligne n°6 : on affecte à la variable p un nombre aléatoire de l'intervalle $[0\,;1[$.
    Ligne n°7 et 8 : on teste si la variable p est inférieure à 0,2 et le cas échéant la variable cerise est incrémentée de $1$.
  2. On exécute $1\,000$ fois cet algorithme et on trouve $37$ cas où le résultat affiché est supérieur à $200$.
    1. Parmi ces $1\,000$ résultats, donner le pourcentage de résultats supérieur à $200$.
      2. La fréquence cherchée est de $\dfrac{37}{1\,000}=0,037$ soit de $3,7$ %.
    2. Peut-on conclure que si le pourcentage d'élèves de ce lycée qui détiennent un smartphone de la marque « Cerise » est supérieur à la moyenne nationale, cela peut être à cause de la fluctuation d'échantillonnage ?
      3. La taille de l'échantillon, soit $900$ personnes, est suffisamment importante pour que l'effet de la fluctuation d'échantillonnage ne soit pas très important. Ceci est confirmé par le fait que lorsque $20$ % d'une population possède un smartphone sous « Cerise » alors dans un échantillon de taille $900$ il y a rarement plus de $200$ personnes qui en possède un.
      Dans ce lycée, il y a $243$ élèves qui ont un smartphone sous « Cerise ». Nous ne semblons pas être dans une petite fluctation autour de $20$ % (soit $180 élèves). Les élèves de ce lycée ne sont vraissemblablement pas représentatifs de la population du pays.
Dans le repère orthonormé du plan ci-dessous, on considère les points $A(-3;4)$, $B(3;0)$, $C(9;3)$ et $D(3;8)$.
  1. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère.
  2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$.
    3. $\overrightarrow{AD}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_D - x_A \\ y_D-y_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 3 - (-3) \\ 8-4\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}$.

    $\overrightarrow{BC}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C-y_B\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 9 - 3 \\ 3-0\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 6 \\ 3\end{pmatrix}$.
  3. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
    4. On calcule dans un premier temps le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$.
    $\text{det}(\overrightarrow{AD}\,\overrightarrow{BC})$ $=$ $6\times3-4\times6$ $=$ $-6$.
    Puisque ce déterminant est non nul, les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ ne sont pas colinéaires et les droites $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
  4. Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AD}$.
    5. $\overrightarrow{BE}$ $=$ $\overrightarrow{AD}$
    $\begin{pmatrix} x_E - x_B \\ y_E-y_B\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}$
    $\begin{pmatrix} x_E - 3 \\ y_E \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}$.
    Or, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. On a donc :
    $x_E-3=6$ ssi $x_E=6+3=9$ et $y_E=4$.
    Les coordonnées du bien $E$ sont $(9\,; 4)$.
  5. Déterminer les longueurs $AB$ et $BE$ et en déduire la nature du quadrilatère $ABED$.
    6. $AB^2$ $=$ $(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
    $=$ $(3-(-3))^2+(0-4)^2$
    $=$ $6^2+(-4)^2$
    $=$ $36+16$
    $=$ $52$.
    Ainsi, $AB=\sqrt{52}$ $=$ $\sqrt{4\times 13}$ $=$ $\sqrt{4}\times\sqrt{13}$ $=$ $2\sqrt{13}$.

    $BE^2$ $=$ $(x_E-x_B)^2+(y_E-y_B)^2$
    $=$ $(9-3)^2+(4-0)^2$
    $=$ $6^2+(4)^2$
    $=$ $36+16$
    $=$ $52$.
    Ainsi, $BE=\sqrt{52}$ $=$ $\sqrt{4\times 13}$ $=$ $\sqrt{4}\times\sqrt{13}$ $=$ $2\sqrt{13}$.

    Puisque $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AD}$, le quadrilatère $ABED$ est un parallélogramme.
    De plus, deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur ($AB=BE$), c'est donc un losange.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions une seule des propositions est correcte et il vous faudra la déterminer. Une bonne réponse apporte un point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et une absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point. Si le total des points de l'exercice est négatif la note sera ramenée à 0.
  1. Soient $A(3;-2)$ et $B(-1;1)$ deux points d'un repère du plan. On considère de plus la droite $(d)$ d'équation $y=-\dfrac{2}{3}x+5$.
    1. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
      $\square$ $-\dfrac{4}{3}$

      $\square$ $-\dfrac{3}{4}$

      $\square$ $\dfrac{1}{4}$

      $\square$ $-\dfrac{1}{4}$
      2. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est égal à : $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ $=$ $\dfrac{1-(-2)}{-1-3}$ $=$ $\dfrac{3}{-4}$ $=$ $-\dfrac{3}{4}$.
      C'est la deuxième proposition.
    2. Les droites $(d)$ et $(AB)$ sont :
      $\square$ parallèles
      $\square$ sécantes en un point d'abscisse positive
      $\square$ sécantes en un point d'ordonnée positive
      $\square$ perpendiculaires
      3. On peut tracer les deux droites dans un repère est observer leur point d'intersection.
      On sait que les deux droites ne sont pas paralléles car elles n'ont pas le même coefficient directeur. Elles vont donc être sécantes et le graphique nous permet de voir que ce sera assez loin vers la droite dans le repère, pour un point d'abscisse négative et d'ordonnée positive.
      C'est la deuxième proposition.
  2. Pour tout nombre réel $x$, pose $A(x)=(2x-1)^2$. On a alors :
    $\square$ $A(x)=2x^2-1$
    $\square$ $A(x)=2x^2+4x-1$
    $\square$ $A(x)=4x^2-4x+1$
    $\square$ $A(x)=2x^2-4x+1$
    3. On utilise l'identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
    $A(x)=(2x-1)^2$ $=$ $(2x)^2-4x+1$ $=$ $4x^2-4x+1$.
    C'est la troisième proposition.
  3. L'expression factorisée de $3a^2+a-a(2a+3)$ est :
    $\square$ $-a^2$
    $\square$ $a(a-2)$
    $\square$ $a^2+4a$
    $\square$ $a(a+4)$
    4. $3a^2+a-a(2a+3)$ $=$ $a(3a+1-(2a+3))$
    $=$ $a(3a+1-2a-3)$
    $=$ $a(a-2)$.
    C'est la deuxième proposition.
  4. $ABCD$ est un parallélogramme si
    $\square$ $C$ est l'image de $D$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
    $\square$ $[AB]$ et $[BC]$ se coupent en leur milieu
    $\square$ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$
    $\square$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
    5. On construit un parallélogramme $ABCD$ pour pouvoir évaluer chacune des propositions.
    On remarque que $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ et donc que $C$ est l'image de $D$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
    C'est la première proposition.
  5. Quelle instruction faut-il saisir dans la ligne 6 de l'algorithme ci-dessous pour qu'après exécution il affiche $32$. def f(n): f = 1 for i in range(0,n): f = f*2 return f $\square$ print(f(2))
    $\square$ print(f(4))
    $\square$ print(f(5))
    $\square$ print(f(7))
    6. Lorsque la fonction $f$ est appelée le calcul $f=f*2$ est exécuté $n$ fois.
    Donc $f(n)$ va renvoyer le résultat de $1\times2\times2\times\cdots\times2$ avec $n$ fois le nombre $2$.
    Or $32 = 1\times2\times2\times2\times2\times2$, ce qui correspond au résultat de print(f(5)).
    On peut le vérifier ci-dessous : def f(n): f = 1 for i in range(0,n): f = f*2 return f print(f(5)) C'est la troisième proposition.
  6. Soient $A(0\,;-50)$, $B(45\,;-35)$ et $C(90\,;-21)$ trois points d'un repère du plan. On a alors
    $\square$ $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés
    $\square$ $B$ est le milieu de $[AC]$
    $\square$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
    $\square$ $AB < AC$
    7. $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 45 - 0 \\ -35-(-50)\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 45 \\ 15\end{pmatrix}$.

    $\overrightarrow{AC}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C-y_A\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 90 - 0 \\ -21-(-50)\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 90 \\ 29\end{pmatrix}$.

    On a $\text{det}(\overrightarrow{AB}\,,\overrightarrow{AC})$ $=$ $45\times29-15\times90$ $=$ $-45$ $\neq$ $0$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    C'est la première proposition.
  7. L'équation $x^2=12$
    $\square$ n'admet aucune solution.
    $\square$ admet une solution : $\sqrt{12}$.
    $\square$ admet deux solutions : $-6$ et $6$
    $\square$ admet deux solutions $-2\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$.
    8. D'après le cours nous savons que l'équation $x^2=12$ admet deux solutions $x=-\sqrt{12}$ et $x=\sqrt{12}$.
    Or $\sqrt{12}$ $=$ $\sqrt{4\times3}$ $=$ $\sqrt{4}\times\sqrt{3}$ $=$ $2\sqrt{3}$.
    C'est la quatrième proposition.