--> Sur la méthode de Héron Illustration de la méthode La méthode peut sembler magique. Pour obtenir une valeur approchée de la racine carrée d'un nombre positif $a$, il suffit de considérer le premier carré parfait $b$ supérieur à $a$.
Le nombre rationnel $\dfrac{1}{2}\left( b+\dfrac{a}{b} \right)$ est alors une meilleure approximation de $\sqrt{a}$ que $\sqrt{b}$ (qui est un entier).
Si on veut une meilleure approximation on effectue les mêmes opérations en remplaçant $b$ par le résultat obtenu à l'étape précédente.
Suivons la traduction du texte de Héron donnée par Jean-Luc Chabert dans Histoires d'algorithmes :
Puisque $720$ n’a pas de côté rationnel, nous extrairons le côté avec une très petite différence de la façon suivante. Comme le premier nombre carré plus grand que $720$ est $729$ qui a pour côté $27$, divise $720$ par $27$ ; cela fait $26$ et $\frac{2}{3}$ ; ajoute $27$, cela fait $53$ $\frac{2}{3}$ ; prends-en la moitié, cela fait $26$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ multiplié par lui-même donne $720$ $\frac{1}{36}$ , de sorte que la différence (sur les carrés) est $\frac{1}{36}$. Si nous voulons rendre cette différence inférieure encore à $\frac{1}{36}$ , nous mettrons $720$ $\frac{1}{36}$ trouvé tout à l’heure à la place de $729$ et en procédant de la même façon...
Quelques explications
« Puisque $720$ n’a pas de côté rationnel » veut dire que lorsqu'on image un carré dont l'aire vaut $720$ alors son côté, qui mesure $\sqrt{720}$, est un nombre irrationnel.
« nous extrairons le côté avec une très petite différence de la façon suivante » : nous allons trouver une valeur approchée de $\sqrt{720}$ de la façon suivante.
On a $27^2=729$ donc on considère un carré de côté de 27 qui a pour aire $729$.

On effectue comme premier calcul : $\dfrac{720}{27}=26+\dfrac{2}{3}$.

On ajoute $27$ à ce résultat : $26+\dfrac{2}{3}+27$ $=$ $53+\dfrac{2}{3}$.

Et on divise par deux cette dernière valeur : $\dfrac{1}{2}\left(53+\dfrac{2}{3} \right)$ $=$ $26+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$.

« de sorte que la différence (sur les carrés) est $\frac{1}{36}$ » :
$\left(26+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)^2-720$ $=$ $\left(26+\dfrac{5}{6}\right)^2-720$
$=$ $26^2+2\times26\times\dfrac{5}{6}+\left(\dfrac{5}{6}\right)^2-720$
$=$ $676+\dfrac{130}{3}+\dfrac{25}{36}-720$
$=$ $\dfrac{1}{36}$.
Héron nous dit donc que le carré dont le côté rationnel mesure $26+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ a une aire proche, à $\dfrac{1}{36}$ près, du carré de côté irationnel $\sqrt{720}$.
Si on veut avoir une meilleure précision on réitère cette méthode non pas en utilisant $27=\sqrt{729}$ mais $26+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$. Le mathématicien affirme alors que la précision va augmenter à chaque étape. Explications géométriques de la méthode de Héron La méthode présentée précédemment peut paraître magique. On divise par $27$, on ajoute $27$ et on divise par $2$. Cependant, à l'époque de Héron (Ier siècle après J.-C) et encore pour des siècles, toute opération arithmétique doit se justifier par des constructions géométriques.
Jean Dieudonné propose dans son ouvrage Pour l'honneur de l'esprit humain une construction justifiant les calculs de Héron dont s'inspire les explications qui suivent.
On considère un carré $ABCD$ dont l'aire vaut $a$ et donc le côté mesure $\sqrt{a}$.
On prolonge les côtés $[BC]$ et $[AD]$ pour obtenir un rectangle $ABEF$ dont l'aire est supérieur à $a$ mais dont le côté $[AF]$ a pour mesure un rationnel $r$.
On construit la médiatrice du segment $[AE]$. Elle coupe la droite $[AF]$ en $J$. Le point $J'$ est tel que $AJJ'B$ soit un rectangle.
Nous allons alors démontrer que la longueur du côté $[AJ]$ du rectangle $ABJ'J$ s'obtient par les calculs énoncés par Héron.

Première étape : le point $J$ appartient à $[DF]$.
En effet, rien dans la construction ne nous assure que $J\in[DF]$.
Nous allons utiliser ici la définition de la médiatrice de $[AE]$ comme ensemble des points équidistants à $A$ et $E$ qui découpe le plan en deux parties : une dont les points sont plus proches de $A$ et l'autre dont les points sont plus proches de $E$.
On a $FA=FD+DA$ et $DA=FE$ donc $FA=FD+FE$ ce qui donne $FA > FE$.
Ainsi, le point $F$ est plus proche de $E$ que de $A$.
Par ailleurs, le triangle $DEF$ étant rectangle en $F$ on a $DE > FE$. Or $FE=DA$, donc $DE > DA$.
Le point $D$ est plus proche de $A$ que de $E$.
Par construction les points $D$, $J$ et $F$ sont alignés mais d'après ce qui précéde $D$ et $F$ ne sont pas du même côté de la médiatrice de $[AE]$. Ainsi, le point $J$ qui appartient à cette médiatrice est bien sur le segment $[DF]$.

Deuxième étape : détermination de $AJ$
On trace la parallèle à la médiatrice de $[AE]$ passant par $E$. Elle coupe la droite $(AD)$ en $K$.
Puisque la médiatrice de $[AE]$ coupe ce côté en son milieu, d'après le théorème de Thalès appliqué dans le triangle $AEK$, $J$ est le milieu de $[AK]$ et donc $AJ=\dfrac{1}{2}AK$.
De plus, $AK=AF+FK$ $=$ $r+FK$, $r$ étant la mesure de $[AF]$.
Dans le triangle rectangle $AEK$, $[EF]$ est la hauteur issue de $E$, donc $EF^2=FA\times FK$ (la propriété utilisée ici est démontrée en annexe de ce texte).
Or, $FE^2=a$ et donc $FA\times FK=a$ et $FK=\dfrac{a}{FA}$ $=$ $\dfrac{a}{r}$.
De plus, on a montré que $AK=r+FK$, donc $AK=r+\dfrac{a}{r}$.
Et puisque $AJ=\dfrac{1}{2}AK$, on a finalement $AJ=\dfrac{1}{2}\left( r+\dfrac{a}{r}\right)$.

Cette construction nous permet donc bien d'obtenir la formule de Héron.

Par ailleurs, on a $JE < JF+FE$ et $JA=JE$ ($J$ étant sur la médiatrice de $[AE]$) donc :
$JA < JF+FE$, c'est-à-dire $JD+DA < JF+FE$.
Et comme $FE=DA$ on obtient : $JD < JF$.
Cela veut dire que $J$ est plus proche de $D$ que de $F$, donc que $J$ est avant le milieu de $[DF]$.
Ainsi, le surplus d'aire $CDFE$ (par rapport à l'aire de $ABCD$) est réduit de plus que moitié à la deuxième étape avec le rectangle $AJJ'B$.
En réitirant le processus on obtient ainsi un surplus d'aire qui converge vers $0$, et donc une construction géométrique dont un des côtés converge bien vers $\sqrt{a}$. Explications analytiques Soit $a>1$ et soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x} \right)$.
On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 > 0$ et pour tout entier $n\in\mathbb{N}$ : $$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( u_n+\dfrac{a}{u_n} \right).$$ L'objectif est de montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt{a}$ et d'avoir une idée de la vitesse de convergence.

Étude de la fonction $f$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et pour tout $x$ de cet intervalle on a :

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{a}{x^2} \right)$ $=$ $\dfrac{x^2-a}{2x^2}$ $=$ $\dfrac{(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})}{2x^2}$.

Pour tout $x>0$, on a $x+\sqrt{a} > 0$ et $2x^2>0$, ainsi $f'(x)$ est du signe de $x-\sqrt{a}$ et on obtient le tableau de variations suivant.
$x$ $0$ $\sqrt{a}$ $+\infty$ $f'(x)$ interdit $-$ 0 $+$ interdit $+\infty$ $+\infty$ $f(x)$ interdit décroissante croissante interdit $\sqrt{a}$
Remarques :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{a}{x}} = +\infty$ car $a>0$ et donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)} = +\infty$.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{a}{x}} = 0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x} = +\infty$. Ainsi, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)} = +\infty$.

$f(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{a}+\dfrac{a}{\sqrt{a}} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{a}+\dfrac{a\times\sqrt{a}}{\sqrt{a}\times\sqrt{a}} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{a}+\dfrac{a\sqrt{a}}{a} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{a}+\sqrt{a} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\times2\sqrt{a}$ $=$ $\sqrt{a}$.


La suite $(u_n)$ est strictement positive
On montre par récurrence que pour tout entier $n$, $u_n > 0$.

Initialisation
Par définition $u_0 > 0$.

Hérédité
On suppose que pour un certain entier $n$, $u_n > 0$. On cherche alors à montrer que $u_{n+1} >0$.

On a $u_n>0$ et $\dfrac{a}{u_n} > 0$ (car $a>0$). Ainsin pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( u_n+\dfrac{a}{u_n}\right) >0$.

Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$, $u_n > 0$.

La suite $(u_n)$ est décroissante
Dans l'étude de la fonction $f$, on a obtenu que pour tout $x>0$, $f(x) \geq \sqrt{a}$.
Or, pour tout entier $n$, $u_n > 0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Ainsi, pour tout entier $n$, $u_n \geq \sqrt{a} $.

Remarque : Ce dernier résultat se démontre par une simple récurrence.

Pour tout entier $n$ on a :
$u_{n+1}-u_n$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( u_n+\dfrac{a}{u_n}\right)-u_n$
$=$ $\dfrac{1}{2}\left( u_n+\dfrac{a}{u_n}\right)-\dfrac{1}{2}\times 2u_n$
$=$ $\dfrac{1}{2}\left( u_n+\dfrac{a}{u_n}- 2u_n\right)$
$=$ $\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{a}{u_n}- u_n\right)$
$=$ $\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{a-u_n^2}{u_n}\right)$.
Or, $u_n \geq \sqrt{a}$ et donc $u_n^2 \geq (\sqrt{a})^2$, puisque la fonction carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$ et donc :
$u_n^2 \geq a$ ce qui donne $a-u_n^2 \leq 0$.
Ainsi, pour tout entier $u_{n+1}-u_n \leq 0$. La suite $(u_n)$ est bien décroissante.

Convergence de la suite $(u_n)$
La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente. On note $\ell$ sa limite.
La suite $(u_n)$ vérifie pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ avec la fonction $f$ continue sur $]0\,;+\infty[$, ainsi, d'après le cours on a :
$\ell$ $=$ $f(\ell)$
$\ell$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left(\ell+\dfrac{a}{\ell}\right)$
$2\ell$ $=$ $\ell+\dfrac{a}{\ell}$
$0$ $=$ $\dfrac{a}{\ell}-\ell$
$\dfrac{a}{\ell}-\ell$ $=$ $0$
$\dfrac{a-\ell^2}{\ell}$ $=$ $0$
Ainsi, $a-\ell^2=0$ et $\ell\neq 0$.
Or, $a-\ell^2=0$ si et seulement si $\ell^2=a$.

Et puisque $\ell >0$, on a $\ell=\sqrt{a}$.

La suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt{a}$.

Vitesse de convergence de la suite $(u_n)$ vers $\sqrt{a}$
Pour tout entier $n$ on a :
$u_{n+1}-\sqrt{a}$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{a}{u_n} \right)-\sqrt{a}$
$=$ $\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{a}{u_n} \right)-\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{a}$
$=$ $\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{a}{u_n}-2\sqrt{a} \right)$
$=$ $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_n^2+a-2u_n\sqrt{a}}{u_n} \right)$
$=$ $\dfrac{1}{2}\dfrac{(u_n-\sqrt{a})^2}{u_n}$.
Or, pour tout entier $n$, $u_n \geq \sqrt{a}$ avec $a >1$. Ainsi, $u_n > 1$ et $\dfrac{1}{u_n} < 1$. Ce qui donne : $$u_{n+1}-\sqrt{a} < \dfrac{1}{2}\left( u_n-\sqrt{a} \right)^2.$$ Puisque $(u_n)$ converge vers $\sqrt{a}$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel, pour tout entier $n \geq n_0$, $u_n-\sqrt{a} < 0,1$.
D'après l'inégalité $u_{n+1}-\sqrt{a} < \dfrac{1}{2}\dfrac{(u_n-\sqrt{a})^2}{u_n}$, on a alors :
$u_{n+1}-\sqrt{a} < \dfrac{1}{2}\times 0,01 = 0,005$.
De manière générale, dès qu'un terme de la suite approche $\sqrt{a}$ avec une précision de $10^{-p}$, à l'étape suivante la précision sera encore meilleure que $0,5\times10^{-2p}$.
Ceci signifie que dès que l'on a les $p$ premiers chiffres dans l'écriture décimale de $\sqrt{a}$, à l'étape suivante le nombre de chiffres exacts aura plus que doublé.

Algorithme
On peut tout d'abord vérifier le résultat précédent sur le nombre de décimales que permettent d'atteindre les premiers termes de la suite.
Reprenons l'exemple de Héron avec $a=720$ et $u_0=27$.

On a alors, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( u_n+\dfrac{720}{u_n} \right)$.

Dans le tableau ci-dessous toutes les valeurs sont arrondies à $10^{-12}$.
$n$ $u_n$ $\sqrt{a}$ $u_n-\sqrt{a}$
$0$ $27$ $26,832\,815\,729\,997$ $0,167\,184\,270\,003$
$1$ $26,833\,333\,333\,333$ $26,832\,815\,729\,997$ $0,000\,517\,603\,336$
$2$ $26,832\,815\,734\,99$ $26,832\,815\,729\,997$ $0,000\,000\,004\,992$
$3$ $26,832\,815\,729\,997$ $26,832\,815\,729\,997$ $0$
$4$ $26,832\,815\,729\,997$ $26,832\,815\,729\,997$ $0$
On remarque qu'à l'étape $n=1$ les deux premiers chiffres de l'écriture décimale sont exactes : $26,83$.
À l'étape $n=2$ on obtient 7 chiffres : $26,832\,815\,7$ et à l'étape $n=3$ la précision de la calculatrice de douze chiffres après la virgule est atteinte. La méthode est rapide ! La méthode de Héron est une méthode de Newton On rappelle que pour trouver une valeur approchée d'une solution $\alpha$ d'une équation $f(x)=0$, on peut construire, par récurrence, une suite à l'aide de la méthode dite de Newton avec un $u_0$ « bien choisi » et pour tout entier $n$ : $$u_{n+1}=u_n-\dfrac{f(u_n)}{f'(u_n)}.$$ Cette méthode n'est pas toujours assurée de fonctionner, cela dépend des propriétés de la fonction $f$, cependant lorsque la suite est ainsi construite sa convergence vers $\alpha$ est rapide.
Pour $a >1$, et pour tout $x > a$, on pose $f(x)=x^2-a$.
On construit alors la suite $(u_n)$ définie par la méthode de Newton :

$u_{n+1}=u_n-\dfrac{f(u_n)}{f'(u_n)}$ $=$ $u_n-\dfrac{u_n^2-a}{2u_n}$ $=$ $\dfrac{2u_n^2-u_n^2+a}{2u_n}$ $=$ $\dfrac{u_n^2+a}{2u_n}$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{u_n^2+a}{u_n}$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( u_n+\dfrac{a}{u_n} \right)$.

Nous retrouvons bien la formule de la méthode de Héron. Annexe
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.
On a alors : $AH^2=HB\times HC$. Preuve n°1 : à l'aide des triangles semblables
Les triangles $HBC$ et $HAC$ sont semblables puisque, d'une part, les angles $\widehat{HBA}$ et $\widehat{HAC}$ sont de même mesure, ainsi que $\widehat{HAB}$ et $\widehat{HCA}$. Les angles restants sont droits donc également de même mesure.

On a alors : $\dfrac{HB}{HA} = \dfrac{HA}{HC}$ et à l'aide d'un produit en croix on obtient : $HA^2=HB\times HC$.

Preuve n°2 : à l'aide des formules de trigonmétrie
On utilise ici les mêmes égalités angulaires que précédemment : $\widehat{HBA} = \widehat{HAC} = \alpha$ et $\widehat{HAB} = \widehat{HCA}=\beta$.
On a donc $\alpha+\beta = 90^{\circ}$.
Dans le triangle rectangle $ABH$ on a : $HA=HB\tan(\alpha)$.
Dans le triangle rectangle $AHC$ on a : $HA=HC\tan(\beta)$.
En multipliant ces deux égalité on obtient : $HA^2=HB\times HC\times \tan(\alpha)\tan(\beta)$.
En se plaçant dans le triangle $ABH$ on a : $\tan(\alpha)\tan(\beta)$ $=$ $\dfrac{AH}{HB}\times\dfrac{HB}{AH}$ $=$ $1$.
Ainsi, on a bien : $HA^2=HB\times HC$.

Preuve n°3 : à l'aide du produit scalaire
$AH^2$ $=$ $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AH}$
$=$ $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}\right) \cdot \left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CH}\right)$
$=$ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CH}$
$=$ $0+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CH}$
$=$ $\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CH}$
$=$ $\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{CH}+0$
$=$ $\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}\cdot\left(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CH} \right)$
$=$ $\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{0}$
$=$ $HB\times HC$.